help SVP

resoudre les équations suivantes :

(E1) : X exposant4 - 3X exposant3 - 6X exposant2 + 3X + 1 = 0
(E2) : X exposant4 + 6X exposant3 + 5X exposant2 – 12X + 3 = 0

Urgent SVP. merci d'avance

Salut timo_131!!!
Pour m'amuser , j'ai donné à Maple11 ton premier polynôme , il m'a craché en un clin d'oeil ses 4 racines toutes réelles :
2-rac5
2+rac5
-(1/2).{1+rac5}
et -(1/2).{1-rac5}


avec rac5=5^(1/2)
Pour y arriver , essayes d'abord de factoriser ton polynôme
X^4-3X^3-6X^2+3X+1 sous la forme d'un produit de deux polynômes unitaires de degré 2 !!!
Bonne chance!!
Idée pareille pour l'autre .
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

Salut timo_131!!!
Pour m'amuser , j'ai donné à Maple11 ton premier polynôme , il m'a craché en un clin d'oeil ses 4 racines toutes réelles :
2-rac5
2+rac5
-(1/2).{1+rac5}
et -(1/2).{1-rac5}


avec rac5=5^(1/2)
Pour y arriver , essayes d'abord de factoriser ton polynôme
X^4-3X^3-6X^2+3X+1 sous la forme d'un produit de deux polynômes unitaires de degré 2 !!!
Bonne chance!!
Idée pareille pour l'autre .
A+ LHASSANE

salut mr l7assane ,
il peut diviser par x^4 et puis il obtiendra une équation de second degré don' l'inconuu est x+1/x , puis delta ( b1 sur il doit vérifier que x#0)

Comme je te l'ai indiqué ci-dessus , on peut décomposer :
X^4-3X^3-6X^2+3X+1 comme produit :
(X^2-4X-1).(X^2+X-1)
Ce n'est pas évident , il faut écrire :
X^4-3X^3-6X^2+3X+1 =(X^2+aX+b).(X^2+cX+d)
puis écrire les équations permettant de calculer les coefficients inconnus a,b,c et d .
A+

neutrino a écrit:

Oeil_de_Lynx a écrit:

Salut timo_131!!!
Pour m'amuser , j'ai donné à Maple11 ton premier polynôme , il m'a craché en un clin d'oeil ses 4 racines toutes réelles :
2-rac5
2+rac5
-(1/2).{1+rac5}
et -(1/2).{1-rac5}


avec rac5=5^(1/2)
Pour y arriver , essayes d'abord de factoriser ton polynôme
X^4-3X^3-6X^2+3X+1 sous la forme d'un produit de deux polynômes unitaires de degré 2 !!!
Bonne chance!!
Idée pareille pour l'autre .
A+ LHASSANE

salut mr l7assane ,
il peut diviser par x^4 et puis il obtiendra une équation de second degré don' l'inconuu est x+1/x , puis delta ( b1 sur il doit vérifier que x#0)

BSR Neutrino !!
Il ne peut pas appliquer cette méthode ici car son polynôme ( le premier ) n'est pas symétrique !!!!
Tu te souviens de cette méthode que je t'avais suggérée du temps de BOURBAKI !!
A+

slt!
je suis tt a fait d'acord avec toi M. LHASSANE! la première n'est po symétrique et on pourrait po suivre la méthode que neutrino a proposé, cependant la deuxième, malgré qu'elle aussi n'est po symétrique, peut etre résolud'une autre manière que celle de trouver lescofficient a b et c.
j'essaierai de démontrer ce théorème d'une façon générale:
posons f(x)=x^4+ax^3+bx²+cx+d
posons X=x²+px
on essaiera de mettre f(x) sous la forme:
f(x)=A(X)+xB(X) tel que A(X) et B(X) sont des polynomes en X.
on x²=X-px <=> x^3=xX-px²=xX-p(X-px)=-pX+x(X+p²)
x^4=(X-px)²=X²-2pxX+p²x²=X²-2pXx+p²(X-px)
= X²-2pxX+p²X-p^3x=X²+p²X-px(p²+2X)
donc
f(x)=X²+p²X-px(p²+2X)-apX+ax(X+p²)+b(X-px)+cx+d
f(x)=X²+X(p²-ap+b)+d+x(-p(p²+2X)+a(X+p²)-bp+c)
donc f(x)=A(X)+xB(X) (1)
tel que:
A(X)=X²+X(p²-ap+b)+d et
B(X)=-p^3-2Xp+aX+ap²+-bp+c=X(-2p+a)-p²+ap²-bp+c

de (1) on a f(x)=A(X) <=> B(X)=0
B(X)=0 <=> a-2p=0 et -p^3+ap²-bp+c=0
<=> p=a/2 et -a^3/8+a^3/4-ba/2+c=0
<=> p=a/2 et a^3/8-ab/2 +c=0
<=> p=a/2 et a^3-4ab+8c=0
donc on trouve a la fin que a b etc vérifient l'équation:
a^3-4ab+8c=0
donc:
f(x)=X²+X(p²-ap+b)+d=X²+X(a²/4 - a²/2 +b) +d
=X²+X(b-a²/4)+d avec X=x²+px=x²+ax/2

on a:f(x)= x exposant4 + 6x exposant3 + 5x exposant2 – 12x + 3 = 0
a=6 b=5 et c=-12
a^3-4ab+8c=216-4*6*5-8*12=216-120-96=0
la relation est satisfaite donc:
f(x)=X²-4X+3=0 et x²+3x=X
<=> (X-3)(X-1)=0 et x²+3x=X
la valeur X=3 conduit a x²+3x-3=0 d'ou x=(-3+V21)/2 ou x=(-3-V21)/2
la valeur X=1 conduit a x²+3x-1=0 d'ou x=(-3+V13)/2 ou x=(-3-V13)/2
donc l'équation f(x) =0 admet 4 racines : x=(-3+V21)/2, x=(-3-V21)/2, x=(-3+V13)/2 et x=(-3-V13)/2.
alors qu'en pensez vous?

BSR Rim !!
Très heureux de te retrouver en cette période de reprise , je t'ai connue dans une autre vie .....
Concernant ta démo .
Est -elle de toi ????
Si OUI , je vais la décortiquer pour la comprendre et voir si c'est correct . En apparence , cele me semble vrai ....
Si NON , pourrais-tu m'envoyer les références de celle-ci .
Avec mes remerciements et
Happy Fasting Month to You and Your Family !
Pardon !! Je ne sais pas le dire dans la langue de CERVANTES que vous parlez couramment à Tanger que j'
Oeil_de_Lynx=BOURBAKI=Prof. LHASSANE

slt M.LHASSANE,
merci bcq pour ton acceuil chaleureux, moi aussi je suis très comblée de retourner à ce merveilleux forum et ses merveilleux matheux après une longue durée de repos.
quant à la démo, c po moi bien sur qui l'a découverte , mais elle m'a été expliqué par un très bon prof de math qui nous a observé pendant les olympiades, et on avait une sorte de factorisation et bien sur je l'ai résolu par trouver les coefficients a, b et c. mais lui après les olym ils nous a expliqué tous cette méthode.
et ramadane mobarak said à toi aussi et à ta famille et à tous les membres de ce forum!
et à propos de la langue espagnole, ne t'en fait pas, moi non plus je ne sais pas le dire en cette langue, je ne la parle pas vraiment courrament!
cordialement
Rim

Oeil_de_Lynx a écrit:

Salut timo_131!!!
Pour m'amuser , j'ai donné à Maple11 ton premier polynôme , il m'a craché en un clin d'oeil ses 4 racines toutes réelles :
2-rac5
2+rac5
-(1/2).{1+rac5}
....
A+ LHASSANE

Bjr mr LHASSAN
est-ce-que vous avez un lien pour telecharger maple 11?( si c'est gratuit bien sur )

BJR Wiles !!
Maple 11 n'est pas gratuit , il faut posséder une licence pour l'utiliser de manière légale .
Toutefois , il existe une version 4 spécialement adaptée aux étudiants et lycéens Maple IV Student Release que tu peux trouver sur la Toile et Télécharger à l'aide d'Emule ( Logiciel Peer to Peer ) !!
Elle pèse 35 Mo !!!!!
A+ LHASSANE

rim hariss a écrit:

slt!
j'essaierai de démontrer ce théorème d'une façon générale:
posons f(x)=x^4+ax^3+bx²+cx+d
posons X=x²+px
on essaiera de mettre f(x) sous la forme:
f(x)=A(X)+xB(X) tel que A(X) et B(X) sont des polynomes en X.
on x²=X-px <=> x^3=xX-px²=xX-p(X-px)=-pX+x(X+p²)
x^4=(X-px)²=X²-2pxX+p²x²=X²-2pXx+p²(X-px)
= X²-2pxX+p²X-p^3x=X²+p²X-px(p²+2X)
donc
f(x)=X²+p²X-px(p²+2X)-apX+ax(X+p²)+b(X-px)+cx+d
f(x)=X²+X(p²-ap+b)+d+x(-p(p²+2X)+a(X+p²)-bp+c)
donc f(x)=A(X)+xB(X) (1)
tel que:
A(X)=X²+X(p²-ap+b)+d et
B(X)=-p^3-2Xp+aX+ap²+-bp+c=X(-2p+a)-p²+ap²-bp+c

de (1) on a f(x)=A(X) <== B(X)=0
B(X)=0 <=> a-2p=0 et -p^3+ap²-bp+c=0
<=> p=a/2 et -a^3/8+a^3/4-ba/2+c=0
<=> p=a/2 et a^3/8-ab/2 +c=0
<=> p=a/2 et a^3-4ab+8c=0
donc on trouve a la fin que a b etc vérifient l'équation:
a^3-4ab+8c=0
donc:
f(x)=X²+X(p²-ap+b)+d=X²+X(a²/4 - a²/2 +b) +d
=X²+X(b-a²/4)+d avec X=x²+px=x²+ax/2

on a:f(x)= x exposant4 + 6x exposant3 + 5x exposant2 – 12x + 3 = 0
a=6 b=5 et c=-12
a^3-4ab+8c=216-4*6*5-8*12=216-120-96=0
la relation est satisfaite donc:
f(x)=X²-4X+3=0 et x²+3x=X
<=> (X-3)(X-1)=0 et x²+3x=X
la valeur X=3 conduit a x²+3x-3=0 d'ou x=(-3+V21)/2 ou x=(-3-V21)/2
la valeur X=1 conduit a x²+3x-1=0 d'ou x=(-3+V13)/2 ou x=(-3-V13)/2
donc l'équation f(x) =0 admet 4 racines : x=(-3+V21)/2, x=(-3-V21)/2, x=(-3+V13)/2 et x=(-3-V13)/2.
alors qu'en pensez vous?

BSR Rim !!!
Je me rappelle que tu as été reçue Première aux Olympiades Régionales de la Délégation de Tanger et que tu as obtenu une Note Explosive comprise entre 19.5 et 20 sur 20 .
Cette Démo de ton Prof , en effet , est très pertinente et ne présente aucune anomalie .
MERCI Rim de nous l'avoir donnée , je ne la connaissais pas du tout !!!
Son but est de factoriser P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d
lorsque la condition SUFFISANTE suivante sur les coefficients est satisfaite :
a^3/8-ab/2 +c=0 (*)
On introduit l’indéterminée X
X=x²+(a/2)x
donc:
P(x)=X²+X(b-a²/4)+d
CAS PARTICULIER : si a=c=0 alors la condition(*)est vérifiée et vous retrouvez le cas de l’équation dite BI-CARREE
P(x)=x^4+bx^2+d ou on pose directement X=x^2
PS : j’aime bien cette Démo mais , étant réfractaire à mémoriser (*) , je préfère faire la Factorisation de manière traditionnelle à la main et le + souvent , cela fonctionne sans trop de pépins !!!!!
A+ LHASSANE

slt M.LHASSANE!
j
e m'exuse de ne pas avoir répondu avant car je n'avais pô vraiment le temps, je ne savais pas que SM prenait aussi du temps que cela!

à propos de la démo, je suis heureuse qu'elle soit correcte, j'avais peur de l'utiliser dans des problème à peur qu'elle soit fausse, mais mnt, confirmée de toi,je peux l'utiliser sans crainte.

et je partage ton avis: elle est difficile à mémoriser, mais c tjrs bien d'avoir un plan B, on ne sait jamais quand on peut le suivre! et je suis fière que j'ai pu bénificier M.LHASSNE, notre grand prof , meme d'une tout petite chose!

P.S:
comment avez vous su que j'étais reçue Première aux Olympiades Régionales de la Délégation de Tanger et que j'ai obtenu cette note? Est du forum ?

BSR Rim !!!
Merci même avec +de 15 jours de retard !!
Cela fait plaisir de te lire !!
Pour ton brillant succès aux Olympiades de Tanger & Région ; c'est toi-même qui nous l'a annoncé sur ce Forum et nous étions hyper-heureux et t'avons envoyé Félicitations sur Félicitations !!!!
A+ LHASSANE

wa5a m3atla mais felicitations mademoiselle RIM et bonne chance pour les olympiades de cette annee (les filles font des massacre en maths!!)

D'accord 1000% Wiles !!
ELLES FONT UN VRAI TABAC comme on dit en français !!!
Bonne chance à toutes les deux !!!!
A+ LHASSANE

merci bcq wiles et mes remerciments M.LHASSANE!
J'éspère que j'obtienderai cette année autant de succés que j'ai eu l'anné dernière!