encore l'arctg

Invité

x de [-pi/2;pi/2] , Prouvez que:
arctan(1/(x+1))+arctan(x/(x+2))= pi/4

neutrino a écrit:: x de [-pi/2;pi/2] , Prouvez que:
arctan(1/(x+1))+arctan(x/(x+2))= pi/4

BJR Neutrino !!
Qui t’empêche de considérer la fonction
f : x--------------> f(x)=ARCTAN{1/(x+1)}+ARCTAN{x/(x+2)}
Elle est partout définie sur IR sauf en -1 et -2
Ta contrainte << x de [-Pi/2;Pi/2] >> exclut bien la valeur -2 par contre la valeur -1 y est en plein dedans !!!!!!?????
Allons plus loin …. Si x est dans IR\{-1 ;-2}
f est définie et continue ; dérivable et de dérivée :
f’(x)=-1/{x^2+2x+2} +1/{x^2+2x+2}=0
Donc f serait CONSTANTE sur Df=]-oo ;-2[ union ]-2 ;-1[ union ]-1 ;+oo[
Cette constante n’étant pas forcément la même !!!!!
On dit que f est constante sur les composantes connexes de Df
Ceci n'est pas à savoir !!!
Sur ]-oo ;-2[ f(x)=C1 et on obtient C1 en faisant x---->-oo
Donc C1=Pi/4
Sur ]-2 ;-1[ f(x)=C2 et on obtient C2 en faisant par exemple x=-3/2
D’où C2=F(-3/2)=ARCTAN(-2)+ARCTAN(-3)
=-{ARCTAN2+ARCTAN3} <> Pi/4 .
Sur ]-1 ;+oo[ f(x)=C3 et on obtient C3 en faisant x---->+oo
Donc C3=Pi/4
En conclusion ton égalité serait VRAIE sur :
]-oo ;-2[ union ]-1 ;+00[ seulement !!!!!

Invité

salut Mr LHASSANE, J'ai trouvé cette formule sur wikipédia, franchement j'ai pas essayé de la démontrer , car j'ai cru qu'elle se démontre comme celle ci:
arctan(x)+arctan(1/x)= -+pi/2 , veuillez confirmer ma déom svp,

Spoiler:

Merci!!

Salut neutrino !!!!
Je l'ai vue aussi sur Wiki et sans aucune Démo !!!
Quant à la formule :
ARCTAN(x)+ARCTAN(1/x)={Pi/2}.{x/|x|} pour tt x dans IR*
elle se démontre aussi facilement à l'aide des fonctions ( f' nulle ===> f fonction CONSTANTE sur IR*+ et sur IR*- etc .....

Ta démo est correcte mais mériterait d'etre mieux rédigée !!

Invité

Oeil_de_Lynx a écrit:: Salut neutrino !!!!
Je l'ai vue aussi sur Wiki et sans aucune Démo !!!
Quant à la formule :
ARCTAN(x)+ARCTAN(1/x)={Pi/2}.{x/|x|} pour tt x dans IR*
elle se démontre aussi facilement à l'aide des fonctions ( f' nulle ===> f fonction CONSTANTE sur iR*+ et sur IR*- etc .....

Ta démo est correcte mais mériterait d'etre mieux rédigée !!

ok merci , (je sais pas bcp de chose dans l'analyse Razz

)

arctg(x)+arctg(1/x)=pi/2 (a)

Je connais deux methodes :

1/considérer une fonction f(x)=arctg(x)+arctg(1/x) et de faire la même demo que la premiére !

2/ (a) <=>arctg x = pi/2 - arctg( 1/x)

puis utiliser la fonction réciproque de arctg qui est tg et puis le fait que tg(pi/2 - b)=cotg(b) !!

Et Hop ...