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 rien que pour vous les matheux!!

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miss_teign
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MessageSujet: rien que pour vous les matheux!!   Lun 06 Oct 2008, 21:38

soit x et y deux réels positifs tel que x+y=1
soit n de N
démontrez que:
(1+1/x^n)(1+1/y^n)>= (1+2^n)^2
merci d'avance!!
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miss_teign
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MessageSujet: !!   Mar 07 Oct 2008, 09:22

encore un petit effort! j'attends vos répenses
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Mar 07 Oct 2008, 12:14

il faut de prime démontrer que
1) 1/x + 1/y >= 2/racine(xy)
2) 1/xy >= 4
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Mar 07 Oct 2008, 12:33

ensuite
dans 1) on remplace x par x^n et y par y ^n
on trouve que 1/x^n + 1/ y ^n >= 2/racine(xy)^n

dans 2) 1/racine(xy)>= racine 4
1/racine(xy)^n >= 2^n
2/racine(xy)^n >= 2x2^n

donc 1/x^n + 1/ y ^n >= 2x2^n

on a 1/xy >= 4
donc 1/(xy)^n >= 4^n
1/(xy)^n >= 2^2n


1+1/x^n + 1/ y ^n+ 1/(xy)^n >=2^2n + 2x2^n +1

1+1/x^n + 1/ y ^n+ 1/(xy)^n >=(2^n)^2 + 2x2^n +1

1+1/x^n + 1/ y ^n+ 1/(xy)^n >= (2^n + 1)^2

on remarque que :
(1+1/x^n)(1+1/y^n)= 1+1/x^n + 1/ y ^n+ 1/(xy)^n

(1+1/x^n)(1+1/y^n) >= (2^n + 1)^2
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Mar 07 Oct 2008, 13:18

pour démontrer que 1/x + 1/y >= 2/racine(xy)

1/x + 1/y - 2/V(xy) = [x-2V(xy)+y]/ xy
= (Vx-Vy)^2 / xy >= 0

1/x + 1/y - 2/V(xy) >= 0
1/x + 1/y >= 2/racine(xy)
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Mar 07 Oct 2008, 13:23

pour démontrer que 1/xy >= 4

(x-y)^2 = (x+y)^2-4xy = 1-4xy (x+y=1)

(x-y)^2 >= 0 donc 1-4xy >= 0 1 >= 4xy


et enfin 1/xy >= 4
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miss_teign
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Mer 08 Oct 2008, 21:42

pourquoi faut-il démontrer que:
1) 1/x + 1/y >= 2/racine(xy)
2) 1/xy >= 4
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moncefzizo
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Jeu 09 Oct 2008, 15:54

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Perelman
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Jeu 09 Oct 2008, 21:00

saluut!!!!!!!!!
voila ma solution:

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Perelman
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Jeu 09 Oct 2008, 21:02

je veux des comentaires!!! lol
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belle34
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Jeu 09 Oct 2008, 21:07

h99 peut tu passer sur mon topic pour m'aider a repondre a la question 6 si te plait
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Perelman
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Jeu 09 Oct 2008, 21:08

ok pas de pb!!.
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mathema
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Jeu 09 Oct 2008, 23:42

Salut tout le monde je vous donne une reponse treeees simple Smile :
on a x+y=1 alors:
le produit P=(1+ 1/x^n)(1+ 1/y^n) est maximum si (1+ 1/x^n) et (1+ 1/y^n) ont la meme valeur c'est à dire que si x=y => x=y=1/2 alors:
x<= 1/2 =>(1+ 1/x^n) >= (1+2^n).
de meme pour y:
(1 + 1/y^n) >= (1+2^n).
alors P>= (1+2^n)²
d'où le resultat Smile
________________________________________________________
Lahoucine Smile
@++
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MessageSujet: Re: rien que pour vous les matheux!!   Aujourd'hui à 12:12

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