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 (sigma de k à n)de arctan(1/(1+k+k²))

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AuteurMessage
khatir123
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Masculin Nombre de messages: 190
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MessageSujet: (sigma de k à n)de arctan(1/(1+k+k²))   Sam 11 Oct 2008, 18:48

je vous propose de simplifier cette somme:
Sn=(sigma de k 1-->n) de arctan(1/(1+k+k²))


Dernière édition par khatir123 le Dim 12 Oct 2008, 03:17, édité 1 fois
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L
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MessageSujet: Re: (sigma de k à n)de arctan(1/(1+k+k²))   Dim 12 Oct 2008, 02:21

je crois qu'il faut d'abord demontrer que pour tout x de R
arctan(x+1)-arctan(x)=arctan(1/x²+x+1)
tan(arctan(x²+x+1))=x²+x+1 car1/ x²+x+1e R
tan(arctan(x+1)-arctan(x))=x+1-x/1+(x+1)x=1/x²+x+1
on sait que qqsoit x de R
x²+x+1>0==>pi/2>arctan(1/x²+x+1)>0
donc arctan(1/x²+x+1)e ]0.pi/2[
on sait que pour tout x de R x+1>x=>arctan(x+1)-arctan(x)>0
demontrons que pi/2>f(x)=arctn(x+1)-arctan(x) pour tout x de R
f'(x)=-(2x+1)/(...)² (-1/(1+x²)+1/(1+(x+1)²)
donc f' s'annule en x=-1/2,positif sur ]-00.-1/2]et negatif sur [-1/2.+00[ ==> f(x)<f(-1/2) =>f(x)<pi/2
d'ou arctan(x+1)-arctan(x) e [0.pi/2[
d'ou on conclut que arctan(x+1)-arctan(x)=arctan(1/x²+x+1) pour tout x deR
revenons a Sn
Sn=E(k=0 -->n)arctan(1/k²+k+1)=E(k=0-->n)arctan(k+1)-E(k=0-->n)arctan(k)
=arctan(n+1)-arctan(0)
au fait tu n'as pas precise k= ? donc j'ai pris 0
sauf erreur
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khatir123
Maître


Masculin Nombre de messages: 190
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Date d'inscription: 05/03/2008

MessageSujet: Re: (sigma de k à n)de arctan(1/(1+k+k²))   Dim 12 Oct 2008, 03:34

il suffit de remarquer que 1/k²+k+1 =((k+1)-k)/1+k(k+1)!!!
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morris
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Masculin Nombre de messages: 90
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Date d'inscription: 23/09/2009

MessageSujet: Re: (sigma de k à n)de arctan(1/(1+k+k²))   Ven 06 Nov 2009, 16:36

c normal
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aimad
Maître


Masculin Nombre de messages: 135
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Date d'inscription: 29/11/2008

MessageSujet: Re: (sigma de k à n)de arctan(1/(1+k+k²))   Sam 07 Nov 2009, 07:43

ba c'est evident
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(sigma de k à n)de arctan(1/(1+k+k²))

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