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 exo à résoudre

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racha
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MessageSujet: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 13:01

a, b et c des longueurs d'un triangle.
montrez que:

a+b+c=1 ==> a²+b²+c² < 1/2
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 13:59

voila:

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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 14:05

j'ai appliqué l'inegalite triangulaire.
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racha
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 14:32

Je vois un 2 qui n'est pas à sa place.On aura a²+b²+c² < 9/4
pourquoi 2+a²+b²+c²?? 2 doit disparaitre avec (ab+bc+ac) > 0 non??
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Perelman
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 14:41

non on a (ab+bc+ac) > 0.

donc on peut l'enlever car 2(ab+bc+ac)>2 et on a:
2(ab+bc+ac)+a²+b²+c²< 9/4

donc aussi :(ab+bc+ac)+a²+b²+c²< 9/4
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 14:42

on a enlever que (ab+bc+ac).
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racha
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 15:08

si tu multiplie ab+ac+bc par 2 sachant que ab+ac+bc > 0
tu auras 2(ab+ac+bc)>0 et non pas >2
tu vois ce que je veux dire??
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Perelman
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 15:13

on a:2(ab+ac+bc)+a²+b²+c²> (ab+ac+bc)+a²+b²+c²

donc on peut la remplacer.

tu vois?
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racha
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 15:22

si on remplace 2(ab+ac+bc)+a²+b²+c² par (ab+ac+bc)+a²+b²+c² on aura: 9/4 > (ab+ac+bc)+a²+b²+c²
et ab+ac+bc= ? donc on peut pas la remplacer par 2.
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Perelman
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 15:23

non non j'ai oublie:

on a remplace : 2(ab+ac+bc)+a²+b²+c² par 2+a²+b²+c².

dsl.
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Perelman
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 15:29

tu me comprends?
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racha
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 15:30

ceci aurait été vrai si on avait ab+ac+bc>1 comme ça quand on va multiplier par 2 il restera de l'autre coté de l'inégalité mais nous on a que (ab+bc+ac) > 0
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Perelman
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 15:48

on a:

a+b+c=1
donc ab+bc+ac-a-b-c est positive.

alors on a: ab+bc+ac>1.
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Badrito
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 15:49

7asaba al motafawitat al motalatiya on a :
a+b>c donc ac+bc>c²
a+c>b donc ab+bc>b²
b+c>a donc ab+ac>a²
najma3 motafawitat a5ira taraf bi taraf wa na7sol 3ala :
2(ab+bc+ac)>a²+b²+c² (A)
on a (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
donc a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=1 (B)
wa 7asab (A) et (B) on a : a²+b²+c²+a²+b²+c²<1
ay: a²+b²+c²<1/2
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racha
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 16:05

Bien joué Badrito.
Merci
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Badrito
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Dim 12 Oct 2008, 19:27

de rien
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mhdi
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Lun 13 Oct 2008, 20:13

Une autre méthode :
On a : a<b+c
Puisque a+b+c=1(donc b+c=1-a), on a :
a<1-a => 2a-1<0
de même on montre que 2b-1<0 et 2c-1<0

D'autre part (a;b;c)>0
=> a(2a-1)+b(2b-1)+c(2c-1)<0
=>2(a²+b²+c²)-(a+b+c)<0
On remplace a+b+c par 1
=> a²+b²+c²<1/2


P.S :
@h99 : Pour pouvoir passer de 2(ab+bc+ac)+a²+b²+c²< 9/4 à 2+a²+b²+c²< 9/4, il faut montrer que ab+ac+bc>=1. (imagine que ab+bc+ac=1/2)
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Badrito
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Lun 13 Oct 2008, 20:17

bonne methode bravo mhdi
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Perelman
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MessageSujet: Re: exo à résoudre   Lun 13 Oct 2008, 20:21

bonne methode!!
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