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 3 exos tres intéressants(logique)

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rajaa16
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MessageSujet: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 12:19

EX1 :
montrer par récurrence que : 4^n (3n-1)+1 = 9k

EX2 :
soit a et b deux nombres appartenant a Q, tel que a=/=b (a est différent a b)
on a : M=(a+bV2)/(1+V2)
1// Montrer que M=/=b
2//montrer que M n'appartient pas a Q

EX3:
soit a et b deux nombres réels strictement positifs:
Démontrer que : quelque soit n de N : ((a+b)/2) =< (a^n+b^n)/2

Bonne chance =D
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Koutaiba
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 12:21

rajaa16 a écrit:
EX1 :
montrer par récurrence que : 4^n (3n-1)+1 = 6k

EX2 :
soit a et b deux nombres appartenant a Q, tel que a=/=b (a est différent a b)
on a : M=(a+bV2)/(1+V2)
1// Montrer que M=/=b
2//montrer que M n'appartient pas a Q

EX3:
soit a et b deux nombres réels strictement positifs:
Démontrer que : quelque soit n de N : ((a+b)/2) =< (a^n+b^n)/2

Bonne chance =D

salut
je crois qu'il y a une faute dans la 1ére question
prend n=1
4^1 (3*1-1)+1 = 9 !!!
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rajaa16
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 12:28

C corrigé, je voulais écrire: 9k
merci =)
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Koutaiba
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 12:30

rajaa16 a écrit:
C corrigé, je voulais écrire: 9k
merci =)

pas de probléme ... Smile
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Koutaiba
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 12:51

salut
pour la 2éme exo :
1)
on suppose que
M = b
(a+bV2)/(1+V2) = b
a+bV2 = b + bV2
a = b
contradiction car a=/=b (a est différent a b)
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 13:29

Exo 3 silent

M.q (a+b)/2≤(a^n+b^n)/2 <=> a+b≤a^n+b^n
∀n∈IN a≤a^n et b≤b^n
donc a+b≤a^n+b^n
Conclure.
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 13:36

elle a oublier de dire que n est strictement positif.
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 13:45

oui car si n est strictement positif et n de IN
alors
n >= 1
car
si n=0 et a>1 on trouver une contradiction avec a≤a^n<==>a≤1
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Koutaiba
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 14:58

je crois que pour la 1ére exercice c'est un peu difficle ...
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 15:03

Moncefelmoumen a écrit:
Exo 3 silent

M.q (a+b)/2≤(a^n+b^n)/2 <=> a+b≤a^n+b^n
∀n∈IN a≤a^n et b≤b^n
donc a+b≤a^n+b^n
Conclure.
et si a et b e ]0.1]
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Koutaiba
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 15:53

en attendant votre aide pour resoudre la 1ére exo ...
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rajaa16
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 16:12

Salut, pour le 3eme exo, n n'est pas strictement positif, alors on ne peut pas conclure que a=<a^n.
On doit résoudre par récurrence, mais je n'y suis pas encore arrivée.
Quelqu'un a pu résoudre la 2eme question du 2eme exo?

Pour le 1er exo, c'est tres facile, si vous voulez que je poste la réponse, dites le moi Very Happy
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 17:29

yallah !
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 18:22

si a;b sont de R prennez a,b£[0,1[ et n=1
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 19:39

rajaa16 a écrit:
Salut, pour le 3eme exo, n n'est pas strictement positif, alors on ne peut pas conclure que a=<a^n.
On doit résoudre par récurrence, mais je n'y suis pas encore arrivée.
Quelqu'un a pu résoudre la 2eme question du 2eme exo?

Pour le 1er exo, c'est tres facile, si vous voulez que je poste la réponse, dites le moi Very Happy

oui svp dans le plus tot possible ...
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rajaa16
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Sam 18 Oct 2008, 23:03

on suppose que 4^n (3n-1)+1 = 9k
on doit montrer que 4^(n+1) (3n+2)+1 = 9k

Apres la vérification on a :
4^(n+1) (3n+2)+1 = 4*4^n (3n-1) + 3 * 4^(n+1) +1
= 9 k + 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1)
= 9k+3(9k-1) +3 * 4^(n+1)
= 9k+3*9k -3 + 3*4^(n+1)
= 9 k' + 3 (4^(n+1)-1 )
puis, on montre par récurrence encore, que 4^(n+1)-1 = 3k, c'est facile, et on conclut ...
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Koutaiba
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Dim 19 Oct 2008, 15:54

rajaa16 a écrit:
on suppose que 4^n (3n-1)+1 = 9k
on doit montrer que 4^(n+1) (3n+2)+1 = 9k

Apres la vérification on a :
4^(n+1) (3n+2)+1 = 4*4^n (3n-1) + 3 * 4^(n+1) +1
= 9 k + 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1)

= 9k+3(9k-1) +3 * 4^(n+1)
= 9k+3*9k -3 + 3*4^(n+1)
= 9 k' + 3 (4^(n+1)-1 )
puis, on montre par récurrence encore, que 4^(n+1)-1 = 3k, c'est facile, et on conclut ...

salut !!
j'ai pas bien compris comment vous avez fait pour passer à la deuxiéme ligne ...
4^(n+1) (3n+2)+1 = 4*4^n (3n-1 + 3) + 1
= 4*4^n (3n-1) + 3 * 4^(n+1) +1
= 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1) + 3n-1 + 1
= 3n + 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1)
= 3n + 3 *(9k-1) + 3 * 4 ^(n +1)
= 3n + 27k - 3 + 3*4^n * 4

jusqu'à ici j'ai bien compris !


Dernière édition par Koutaiba le Dim 19 Oct 2008, 17:09, édité 1 fois
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rajaa16
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Dim 19 Oct 2008, 16:45

4^(n+1) (3n+2)+1 = 4*4^n (3n-1 + 3 )+ 1
= 4*4^n (3n-1) + 3 * 4^(n+1) +1
j'espere que c'est clair maintenant =)
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Koutaiba
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Dim 19 Oct 2008, 16:55

oui j'ai compris ...
mais qu'est ce que t'as fait pour entrer 9k ???
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rajaa16
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Dim 19 Oct 2008, 16:57

d'apres la supposition on a : 4^n (3n-1)+1 = 9k
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Dim 19 Oct 2008, 17:13

pouvez-vous mieux expliquer ??
3n + 27k - 3 + 3*4^n * 4
pouvez -vous continuer lexo avec mieux de details des cette ligne...
merci
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rajaa16
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Dim 19 Oct 2008, 17:24

il ya une faute dans la 3eme ligne de ta démonstration :
= 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1) + 3n-1 + 1

correction : 3 * 4 ^n (3n-1) + 3 * 4 ^(n +1) + 4^n(3n-1) + 1
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Dim 19 Oct 2008, 20:15

oui j'ai bien compris ...Merci beaucoup...
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rajaa16
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Dim 19 Oct 2008, 21:19

Y a pas de quoi Very Happy
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Koutaiba
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Dim 19 Oct 2008, 21:36

Koutaiba a écrit:
salut
pour la 2éme exo :
1)
on suppose que
M = b
(a+bV2)/(1+V2) = b
a+bV2 = b + bV2
a = b
contradiction car a=/=b (a est différent a b)

2)
on suppose que M appartient a Q
E (p,q)appartient à (Z.IN*) : (a+bV2)/(1+V2)=p/q
et p/q sont premiers entre eux
alors
a+bV2 = p
et
1+V2 = q
.......
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MessageSujet: Re: 3 exos tres intéressants(logique)   Aujourd'hui à 06:01

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