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 /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)

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MessageSujet: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 14:32

un exo proposeepar notre professeur :
soit f fonction numerique definie sur I qui verifie
(Ek>0)(qqsoit(x.y) de I²)/fx-fy/<=k/x-y/ *
1-montrez que f continue sur I
2-..................la fonction g ou gx=1/5*sinx verifie *
3-................................x|-->1/Vx ne verifie pas *
suppsons que k e ]0.1[ et que f verifie *
montrez que f(x)=x admet au plus une solution dans I
sauf erreur
-----------
soit g et f deux fontxions definies sur un intervalle ouvert I et continues en x0 de I
MQ
fx0>gx0==>(E &>0)(/x-x0/<&==>fx>gx)
2/en deduire que h continue en x0 ou
qqsoit x de I hx=max(fx.gx)

j'en posterai d'autres plus tard si vous voulez
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_Bigbobcarter_
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_Bigbobcarter_

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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 15:53

salut L merci pour ces exos !! je voudrais savoir si tu aurais la correction ! AU cas ou je trouve des problemes !! ??
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mehdibouayad20
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mehdibouayad20

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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 15:58

bsr L
en effet on n'a po encore fé tellement de choses dans ce cours que je préfère le faire pour aprés
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 16:03

oui _Bigbobcarter_ je les ai faits ,on pourra comparer apres
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sami
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 17:34

Salut
1)on montre que f est continue sur ]a,b[ puis à gauche de b à droit de a.
pour ]a,b[:
on a:lf(x)-f(t)l<lx-tl et la limite de lx-tl quand x tend vers t est 0.
donc lim de f(x)-f(t) quand x tend vers t est 0 donc lim_{x-->0}f(x)= f(t)
donc la fonction est continue sur ]a,b[
on fait la même chose pour le reste et puis on conclut
2)tu peux me dire I dans ce cas est égale à quoi ?
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 17:36

I est un invtervalle de R
au fait,est ce qu'il etait necessaire de prendre I un intervalle ferme ?
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sami
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:05

Salut
non ce n'est pas nécessaire car I doit être un intervalle de IR (non vide et non réduit à un point).
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sami
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:14

2) on a |g(x)-g(y)|<k|x-y|<--->|(g(x)-g(y)/x-y|<k
après le passage à la limite:
lim_{x-->y}|(g(x)-g(y)/x-y|<lim_{x-->y}k
<---->lim_{x-->y} 1/5|(sinx-siny)/x-y|<k
<---->lim_{x-->y} |(sinx-siny)/x-y|<5k
<---->sin'(y)<5k<--->cos(y)<5k
ce qui est vrai cas la fonction cos est bornée
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:16

quel est le plsu correct des deux cas,prendre I=]a.b[et ne pas etudier la continuite a droite et a gauche
ou bien [a.b] et etuider tout l'intervalle?


Dernière édition par L le Sam 18 Oct 2008, 18:18, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:17

sami a écrit:
2) on a |g(x)-g(y)|<k|x-y|<--->|(g(x)-g(y)/x-y|<k
après le passage à la limite:
lim_{x-->y}|(g(x)-g(y)/x-y|<lim_{x-->y}k
<---->lim_{x-->y} 1/5|(sinx-siny)/x-y|<k
<---->lim_{x-->y} |(sinx-siny)/x-y|<5k
<---->sin'(y)<5k<--->cos(y)<5k
ce qui est vrai cas la fonction cos est bornée
si x=y
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sami
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:22

pour le 3) on a (1/Vx)'=(-1/2xVx) et cette fonction n'est pas bornée au voisinage de 0.donc elle est pas lipschitzienne.
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sami
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:23

Salut
si x=y alors on aura 0=<0 ce qui vrai
si non je t'ai donné la démo
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:26

parce que je l'ai fait avec les relations trigo (sinx-siny=...) mais bon c'est bien de changer^^
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:30

pour la 3eme on peux pas fair labsurdite?
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:30

sami a écrit:
pour le 3) on a (1/Vx)'=(-1/2xVx) et cette fonction n'est pas bornée au voisinage de 0.donc elle est pas lipschitzienne.

OUI sami ! C'est VRAI que la fonction Rac(.) ne vérifie pas la propriété de Lipschitz sur IR+ ;
Cependant sur tout [a;+oo[ avec a>0
on a {rac(x)-rac(y)}.{rac(x)+rac(y)}=x-y
d'ou {rac(x)-rac(y)}={(x-y)/(rac(x)+rac(y))}
pour tout x et y dans [a;+oo[ on aura rac(x)+rac(y)>=2.rac(a)
d'ou:
|rac(x)-rac(y)|<={1/2rac(a)}.|x-y|
et ainsi Rac(.) est {1/2rac(a)}-Lipschitzienne sur [a;+oo[
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:39

/sinx-siny/=/2sin(x-y/2)cos(x+y/2)/
/sin(x-y/2)/=sin/(x-y/2)/<=/x-y/2/ (qqsoit x >=0 x>=sinx)
et on a /cos(x+y/2)<1
donc1/5 /sinx-siny/<2/5*/x-y/
donc E k=2/5>0 tel que ......
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sami
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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptySam 18 Oct 2008, 18:40

L a écrit:
parce que je l'ai fait avec les relations trigo (sinx-siny=...) mais bon c'est bien de changer^^
salut ^^
si non une autre chose
passe aux limites avant de diviser Wink ce qui te garantira que le dénominateur ne s'annulera jamais
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kirua
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kirua

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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) EmptyMar 21 Oct 2008, 21:16

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MessageSujet: Re: /fx-fy/<K/x-y/ & h(x)=max(fx.gx)   /fx-fy/<K/x-y/  &  h(x)=max(fx.gx) Empty

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