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 problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)

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samir
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MessageSujet: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Lun 31 Juil 2006, 16:00


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Dernière édition par le Lun 31 Juil 2006, 16:13, édité 1 fois
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Lun 31 Juil 2006, 16:01

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Lun 31 Juil 2006, 16:03

Je pense qu'il ya une faute de frappe dans le terme au milieu de l'énoncé

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samir
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Lun 31 Juil 2006, 16:14

je l'ai corrigé
merci abdelbaki

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Sam 05 Aoû 2006, 11:22

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour

Soit A=(1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)² et B=(1+x)(1+y)(1+z)

A=3+x^4+y^4+z^4-2(x²+y²+z²)

x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+xz+yz)=1-2(xy+xz+yz)

x^4+y^4+z^4=(x²+y²+z²)²-2(x²y²+x²z²+y²z²)
x^4+y^4+z^4=1+4(xy+xz+yz)²-4(xy+xz+yz)-2(x²y²+x²z²+y²z²)

==> A=2+4(xy+xz+yz)²-2(x²y²+x²z²+y²z²)
==> A=2+2(x²y²+x²z²+y²z²)+8(x²yz+xy²z+xyz²)
==> A=2+2(x²y²+x²z²+y²z²)+8xyz

Alors A >= 2

B=1+x+y+z+xy+xz+yz+xyz=2+xy+xz+yz+xyz

La deuxième inégalité devient :
4(xy+xz+yz)²-2(x²y²+x²z²+y²z²)=<xy+xz+yz+xyz

Mais x²y²+x²z²+y²z²=(xy+xz+yz)²-2(x²yz+xy²z+xyz²)=(xy+xz+yz)²-2xyz
Alors ça revient à montrer que 2(xy+xz+yz)²+3xyz=<xy+xz+yz
<==> 3xyz=< (xy+xz+yz)(1-2(xy+xz+yz))=(xy+xz+yz)(x²+y²+z²)
<==> 3=<(1/x+1/y+1/z)(x²+y²+z²)

On a : x²+y²+z²>=3((x+y+z)/3)²=1/3 d'aprés la convexité de t -->t²
et 1/x+1/y+1/z=(1/x+1/y+1/z)(x+y+z)>=9 ( I.A.G)
D'où le résultat

A+

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crazyharrypotter
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Sam 05 Aoû 2006, 18:49

svp cet exercies me fais mal à la tete quand vous donner la reponce et ou merci d avance
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Sam 05 Aoû 2006, 19:08

crazyharrypotter a écrit:
svp cet exercies me fais mal à la tete quand vous donner la reponce et ou merci d avance

Pas de panique. Le lundi Incha allah tu auras la solution si Samir est disponible bien sûr!

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lotfi
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Dim 06 Aoû 2006, 12:51

Bonjour

Solution postée

voici la solution de Lotfi
Bonjour
je vais user des abreviations pour repondre au problème:
(IOE)=inferieur ou egal.(autrement dis_< ).
on a: 2[IOE](1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)²[IOE](1+x)(1+y)(1+z).
x+y+z=0 et (x,y,z)apartient à IR*^3
donc (x,y,z) appartiennent à ]0,1[.

on a: (1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)²=2+2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²).
et: (1+x)(1+y)(1+z)=2+xz+yz+xy+xyz.
on suppose que: (1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)²[IOE](1+x)(1+y)(1+z).
<=> 2+2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²)[IOE]2+xz+yz+xy+xyz.
<=>(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²)[IOE]xyz.(*)

on a : xy+xz+yz-2(x²y²+y²z²+x²z²)=xyz(x+y+z)-(y.x^3+x.y^3+z.x^3
x.z^3+z.y^3+y.z^3).

avec: x+y+z=1.
donc: xy+xz+yz-2(x²y²+y²z²+x²z²)=xyz-(y.x^3+x.y^3+z.x^3
x.z^3+z.y^3+y.z^3).

(*)<=>xyz-(y.x^3+x.y^3+z.x^3+x.z^3+z.y^3+y.z^3)[IOE]xyz.
<=>y.x^3+x.y^3+z.x^3+x.z^3+z.y^3+y.z^3>_0.(superieur ou egal)
donc ce qu'on avait supposé est vrai.
alors: (1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)²[IOE](1+x)(1+y)(1+z).

maintenant on suppose que: 2[IOE](1-x²)²+(1-y²)²+(1-z²)².
<=>2[IOE]2+2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²).
<=>2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²)>_0.

on a pour tout x appartenant à ]0,1[ x²_<x. donc: 2x-2x²>_0.
donc cette proposition est vraie et ce qu'on avait proposé et aussi vrai.

Finallement: 2[IOE]2+2(xy+xz+yz)-2(x²y²+y²z²+x²z²)[IOE](1+x)(1+y)(1+z).

Si une égalité n'est pas clair je peux envoié un papier écrit à la main pour
être plus clair.

Merci
Lotfi
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Dim 06 Aoû 2006, 21:30

Pilotemig29 a écrit:
solution postée.

Faissal.E / pilotemig29 /
voici la solution de pilotemig29

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eto
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Dim 06 Aoû 2006, 22:00

salut
solution postée
voici la solution d'eto
on pose x=a/(a+b+c)et y=b/(a+b+c) et z=c/(a+b+c)
la partie droite de linegalite est equivalente a
[(a+b+c)²-a²]²+[(a+b+c)²-b²]²+[(a+b+c)²-c²]²<=(a+b+c+a)(a+b+c+b)(a+b+c+c)(a+b+c)
<=>3(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4
-2(a+b+c)²(a²+b²+c²)<=2(a+b+c)^4+(a+b+c)²(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)
<=>(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4<=(a+b+c)²[(a+b+c)²/2+(a²+b²+c²)*3/2]+abc(a+b+c)
<=>1/2*(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4<=(a+b+c)²*3/2*(a²+b²+c²)+abc(a+b+c)
<=>1/2*(a+b+c)²[(a+b+c)²-3(a²+b²+c²)+a^4+b^4+c^4<=abc(a+b+c)
<=>(a+b+c)²(ab+bc+ca-a²-b²-c²)+a^4+b^4+c^4<=abc(a+b+c)
<=>(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca)(ab+bc+ca-a²-b²-c²)+a^4+b^4+c^4<=abc(a+b+c)
<=>-(a²+b²+c²)²+2(ab+bc+ca)²-(a²+b²+c²)(ab+bc+ca)+a^4+b^4+c^4<=abc(a+b+c)
<=>3abc(a+b+c)<=(a²+b²+c²)(ab+bc+ca)
<=>2abc(a+b+c)<=ba^3+ab^3+ca^3+ac^3+bc^3+cb^3
<=>2abc(a+b+c)<=ab(a²+b²)+ac(a²+c²)+bc(b²+c²)
il suffit de demonter la derniere inegalite pour tout a .b et c de R+
on a:
ab(a²+b²)+ac(a²+c²)+bc(b²+c²)>=2(a²b²+a²c²+c²b²)=a²(b²+c²)+b²(a²+c²)+c²(a²+b²)>=2abc(a+b+c)
la partie a gauche est equivalente a :
2(a+b+c)^4<=3(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4-2(a+b+c)²(a²+b²+c²)
<=>2(a+b+c)²(a²+b²+c²)<=(a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4
<=>(a+b+c)²(a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca)<=a^4+b^4+c^4
<=>(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca)(a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca)<=a^4+b^4+c^4
<=>a^4+b^4+c^4+2a²b²+2b²c²+2c²a²-4(ab+bc+ca)²)<=a^4+b^4+c^4
<=>2a²b²+2b²c²+2c²a²<=4(ab+bc+ca)² ca qui est juste
eto


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crazyharrypotter
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Mer 09 Aoû 2006, 15:37

j ai rien compris svp quelque m envois un message privè merci d avance
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Oumzil
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MessageSujet: Bonjour   Lun 28 Aoû 2006, 15:05

salut c'est la première fois que je vois ce forum , je le trouves magnifique :
pour cet exercice j'ai une sollution à proposer que j'aimerai bien qu'un prof corrige au cas ou ya un point qui est pas exact :

bon j'ai dévisé l'encadrement en haut en deux inéquations :

(1) 2 =< (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)²

(2) (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² =< (1+x) (1+y) (1+z)

pour prouver la 1 ère inéquation :

soit Z le nombre réel (la soustraction ) : Z = (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - 2
alors je dois prouver que Z est positif :
Z = (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - 2
= (1-x²)² - 1 + (1-y²)² - 1 + (1-z²)²
= (1-x² + 1 ) ( 1-x² -1) + (1-y² + 1 ) ( 1-y² -1) + (1-z²)²
= x²(2-x²) + y²(2-y²) + (1-z²)²
et nous savons que x+y+z = 1 et que chacun des membres x , y et z est strictement positif
alors : 0<x<1 et 0<y<1 et 0< z<1
donc : x²<1 et alors : 2-x² >0
de meme pour y on obtient : 2-y² > 0
alors Z est positif .
équiveaux à dire : 2 =< (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)²

pour prouver la 2 ème inéquation :

On a : x+y+z = 1
donc : 1-x = y + z
On a aussi : 1 - x² = (1+x) (1-x)
= (1+x) (y+z)
de la meme façon : 1-y = x+z
et on a alors : 1 - y² = (1+y) (x+z)
aussi pour 1 - z² on obtient : 1 - z² = (1+z) (x+y)
et puisque : x+y+z = 1 et x>0 , y>0 et z>0
alors : x+y < 1 et x+z <1 et y+z < 1

alors : (1+z) (x+y) < (1+z) * 1 et (1+x) (z+y) < (1+x) * 1 et (1+y) (x+z) < (1+y) * 1
donc : (1-x²) < (1+x) et (1-y²) < (1+y) et (1-z²) < (1+z) ( on nomme cette ligne deduction A )

et on sait que pour tout X de l'intervalle [0;1] on a : X²<X
alors : (1-x²)² < (1-x²) et (1-y²)² < (1-y²) et (1-z²)² < (1-z²) ( on nomme cette ligne deduction B )

à partir des deux deduction A et B on conclu :

(1-x²)² + (1-x²)² + (1-x²)² < (1-y²) + (1-y²) + (1-y²) < (1+x) + (1+y) + (1+z)

et alors : (1-x²)² + (1-x²)² + (1-x²)² < (1+x) + (1+y) + (1+z)

alors les 2 inéquations prouvés , on a prouvé alors :

2 =< (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² =< (1+x) (1+y) (1+z)


merci de corriger si vous voyez que ya des fautes Smile
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Oumzil
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Lun 28 Aoû 2006, 15:09

Shocked Shocked Shocked Shocked Shocked je crois que j'ai trop détaillé
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   Mar 29 Aoû 2006, 00:45

Oumzil a écrit:
à partir des deux deduction A et B on conclu :

(1-x²)² + (1-x²)² + (1-x²)² < (1-y²) + (1-y²) + (1-y²) < (1+x) + (1+y) + (1+z)

et alors : (1-x²)² + (1-x²)² + (1-x²)² < (1+x) + (1+y) + (1+z)

alors les 2 inéquations prouvés , on a prouvé alors :

2 =< (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² =< (1+x) (1+y) (1+z)



Je pense que c'est bon pour la première partie. Mais pour la deuxième, ce passage n'est bien compris , j'ai des doutes

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Oumzil
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MessageSujet: Re   Jeu 31 Aoû 2006, 17:52

dsl Embarassed
je vais chercher une autre sollution
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Oumzil
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MessageSujet: Une autre sollution pour la 2ème inéquation :   Jeu 31 Aoû 2006, 20:32

bonsoir
merci bcp monsieur abdelbaki attioui ,
voilà je propose une autre sollution pour la 2 ème inéquation :


nous avons : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = (1-x²+1-y²+1-z²)² - 2(1-x²)(1-y²) - 2(1-x²)(1-z²) - 2(1-y²)(1-z²)

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = [3-(x²+y²+z²)]² - 2[(1-x²-y²+x²y²)+(1-x²-z²+x²z²)+(1-y²-z²+y²z²)]

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = [3-(x²+y²+z²)]² - 2[3-2(x²+y²+z²)+(xy)²+(xz)²+(yz)²]

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = [9 - 6(x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)²] - [6 - 4(x²+y²+z²) + 2(xy)² + 2 (xz)² + 2 (yz)² ]

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² = 3 - 2(x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)² ]

alors : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = 3 - 2(x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - (2 + xy+ xz + yz + xyz)

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = 1 - 2(x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

et puisque : x + y + z = 1 équivaux à dire : ( x+y+z )² =1 équivaux à dire : x²+y²+z² = 1- 2xy - 2xz - 2yz

alors : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = 1 - (1- 2xy - 2xz - 2yz) - (x²+y²+z²) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = - (x²+y²+z²) + (2xy+ 2xz + 2yz ) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = - (x²+y²+z² - 2xy - 2xz - 2yz) + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = - [ (1/2)(x-y)² + (1/2)(x-y)² + (1/2)(x-y)²] + (x²+y²+z²)² - 2[ (xy)² + (xz)² + (yz)²] - ( xy + xz + yz + xyz )

donc : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) = - [ (1/2)(x-y)² + (1/2)(x-z)² + (1/2)(y-z)²] + x^4 + y^4 + z^4 - ( xy + xz + yz + xyz )

et puisque : x^4 + y^4 + z^4 - ( xy + xz + yz + xyz ) < 0

alors : (1-x²)² + (1-y²)² + (1-z²)² - (1+x)(1+y)(1+z) =< 0


est ce que tout est bon ?
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MessageSujet: Re: problème N°40 de la semaine (31/07/2006-06/08/2006)   

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