est ce que c'est la seule solution ?

trouver toutes les fonctions de R vers R verifiant :



f(x)=x+1 est une solution .
je voudrais savoir si c'est la seule solution ..
merçi .

Bonjour,

Non, ce n'est pas la seule, et il y a probablement une infinité de solutions.

Par exemple :

Soit la suite : u_1 = 1 et u_(n+1) = (u_n^2 - 1)/n pour n > 0
Soit la fonction f :

f(x) = x+1 pour x dans R - N*
f(n) = u_n pour tout n entier naturel strictement positif.

f répond à la question.

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Patrick

non c pas la seule fonction, en effet la relation f²(x)=1+xf(x+1) nous permet juste d affirmer que f(0)=1 ou f(0)=-1 et que à partir de [0,1] on peut construire l image de R

donc il suffit de prendre une fnction g telle que g(0) appartient à {-1,1} et prendre sa restriction f sur [0,1] et après detrmier les autres valeurs prises par f sur R à l aide de la formule f²(x)=1+xf(x+1) ... j espère que t as compris ...

Bonjour,

Tout à fait, à un détail près.

Une fois f déterminée sur [0,1[, construire sur R+ est aisé.
Mais construire sur R- suppose quand même que 1 + xf(x+1) soit positif.

pour x < -1, c'est facile, il suffit dans la construction du créneau précédent d'avoir pris la racine négative.
Il reste le créneau -1, 0 : il faut choisir g de telle sorte que 1 + (x-1)g(x) soit >= 0 sur [0,1[

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Patrick

Après, la question est de savoir si c'est la seule continue sur R

merçi encore une fois ....

enfaite en cherchant à démontrer cette formule :



probablement de Ramanujan je suis amener à resoudre cette equation fonctionnelle esperant qu'elle a une solution unique .

mais maintenant je ne crois pas que cette piste peut donner quelques choses .

Bonjour,

Jolie formule, et je vois bien en quoi l'équation fonctionnelle était utile ... .
Nota : formule valable pour x >=0 seulement (voir par exemple x = -3 ...)

Pour une démonstration directe de ta formule, je te suggère d'étudier f(p,n) définie ainsi :
f(n,n) = sqrt(1 + (x+n))
f(p,n) = sqrt(1 + (x+p)f(p+1,n))

On peut voir des choses intéressantes du genre :
f(p,n) < x+p+1
et, dès que n-p est assez grand :
f(p,n) < f(p+1,n)
0 < (x+p+1)^2 - f(p,n)^2 < 1/2 [(x+p+2)^2 - f(p+1,n)^2]

Ce qui permet d'arriver au résultat

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Patrick