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 2 Cracs P et S

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MessageSujet: 2 Cracs P et S   2 Cracs P et S EmptySam 25 Oct 2008, 11:56

Deux logiciens (costauds je suppose) S et P connaissent respectivement la Somme et le Produit de deux entiers compris entre 2 et 200 (au sens large).

P: "Je ne peux pas déterminer ces nombres"

S: " Je le savais"

P: "alors je les ai trouvés"

S: " Et bien Moi aussi !"

Sauriez-vous trouver ces nombres ?
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MessageSujet: Re: 2 Cracs P et S   2 Cracs P et S EmptySam 25 Oct 2008, 12:52

hhh. je crois que c'est imppossible. hhh
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MessageSujet: Re: 2 Cracs P et S   2 Cracs P et S EmptySam 25 Oct 2008, 12:55

je vais vous donner un exo pareil avec un raisonement bien logique il suffit de tirer de lui les memes resultas.
Diophante choisit deux nombres entre 2 et 99. Il donne le produit à
Pierre et la somme à Sébastien. Quels sont ces nombres, demande-t-il ?


Pierre :
Je ne peux pas les déterminer.

Sébastien :
Je le savais.

Pierre :
Alors je connais les deux nombres.

Sébastien :
Maintenant, moi aussi.
Quels sont ces deux nombres ?

Diophante revient à la charge en choisissant à nouveau deux nombres
compris cette fois-ci entre 3 et 99. Même scénario que précédemment. Il
donne le produit à Pierre et la somme à Sébastien. Quels sont ces
nombres, demande-t-il ?

Le dialogue de Pierre et de Sébastien est rigoureusement le même que précédemment.

Quels sont ces deux nombres ?

Cas n°1 : 2 nombres choisis dans l'intervalle 2-99

On examine toutes les configurations possibles du
couple (P,S) en fonction des déclarations successives de Pierre et de
Sébastien.

Pierre : « Je ne peux pas les déterminer »



Pierre ne peut pas répondre, car le produit P n'est pas :


  • un nombre premier,
  • le produit de deux nombres premiers (ex : 65 = 5*13),
  • le cube d'un nombre premier (ex : 27 = 3*9),
  • le double du carré d'un nombre premier > 10 (ex : 338 = 2*13*13 = 13*26 ; la décomposition 2*169 est impossible),
  • le multiple d'un nombre premier >50 (ex :244 = 4*61),

Les valeurs possibles de P sont donc :12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, etc??.

Sébastien : « Je le savais »



Dès lors, S n'est pas la somme de deux nombres dont le produit aurait été précédemment exclu par Pierre.
On peut donc éliminer toutes les valeurs de S qui sont la somme de deux
nombres premiers. Selon la conjecture de Goldbach, tout nombre pair est
la somme de deux nombres premiers. S est donc un nombre impair.

Quand S est impair, on peut exclure les cas où S = 2
+ nombre premier p car P = 2*p a une décomposition unique. De même, on
peut éliminer S = 51 car 51 = 17 + 34 et P = 17*34 n'a pas d'autre
décomposition.

Par ailleurs S 2 Cracs P et S E306sol_clip_image00253.
En effet avec S > 53, S pourrait s'écrire sous la forme 53 + a et
dans ce cas Pierre pourrait avoir P=53*a qui est une décomposition
unique.

Les sommes possibles pour Sébastien se limitent donc à la liste: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53.

Le tableau ci-après donne pour chaque valeur de S les valeurs possibles de P.


2 Cracs P et S E306sol_clip_image004

Pierre : « Alors je connais les deux nombres. »



Il n'y a plus d'incertitude possible pour Pierre et
il en résulte que le produit P apparaît une seule fois dans le tableau
ci-dessus. Ainsi 30=5*6=2*15 ne peut pas être une solution car il lui
correspond deux sommes 11 et 17. A l'inverse 28 convient car 28 = 4*7
est unique. Les nombres sur fond jaune de ce tableau sont repris ci-après :


2 Cracs P et S E306sol_clip_image006

Sébastien : « Maintenant, moi aussi. »



Cette réponse ne peut être faite que si pour une
somme de S, il y a une seule valeur possible de P. Il y a une seule
valeur de S = 17 à laquelle correspond P = 52. (nombres repérés en vert)

Les deux nombres de Diophante sont donc 4 et 13.
Nota



  • si les nombres a et b avaient été choisis sur l'intervalle plus réduit 2-63, il n'y aurait pas eu de solution.
  • la solution (4,13) est unique sur l'intervalle [64,867],
  • il y a deux solutions (4,13) et (4,61) sur l'intervalle [868,1503] ,
  • il y a trois solutions (4,13), (4,61) et (32,131) sur l'intervalle [1504,1968]..

David Pearson de l'Université de Dartmouth a observé
sans le démontrer que dans tous les cas, le plus petit nombre est une
puissance de 2 et dans la grande majorité des cas, le plus grand nombre
est un nombre premier.

Cas n°2 : 2 nombres choisis dans l'intervalle 3-99


L'unique solution est obtenue avec les nombres 13 et 16 de somme égale à 29 et de produit égal à 208.


Nota : il n'y a pas de solution si les 2 nombres a et b sont choisis sur un intervalle (k,l) avec k>3 et l entier quelconque.
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MessageSujet: Re: 2 Cracs P et S   2 Cracs P et S EmptySam 25 Oct 2008, 12:55

hh et ce genre d'exo s'appelle les exos impssibles mathmaster
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MessageSujet: Re: 2 Cracs P et S   2 Cracs P et S EmptySam 25 Oct 2008, 13:10

Suspect c toi qui a fait ca?. ma fhemt waloo. Suspect
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MessageSujet: Re: 2 Cracs P et S   2 Cracs P et S EmptySam 25 Oct 2008, 16:03

non c pas moi en faite c juste la premiere idée m'appartient .
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MessageSujet: Re: 2 Cracs P et S   2 Cracs P et S EmptySam 25 Oct 2008, 18:56

ok. mm si j n'ai rien compris. sans aucun doute se resonement a oublié le cas ou les deux qui parllent entre soit des menteurs lol.
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MessageSujet: Re: 2 Cracs P et S   2 Cracs P et S EmptySam 25 Oct 2008, 19:27

^^ demande la réponse a L
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MessageSujet: Re: 2 Cracs P et S   2 Cracs P et S Empty

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