Bonjour à tous.
Je vois que pesonne n'a encore proposé de solution à ce problème. En voici une (probablement pas la plus simple) :
Nous cherchons donc toutes les fonctions f de N dans N telles que f(n+1)>f(f(n)) pour tout n de N
La fonction identité f(n)=n vérifie la propriété.
Montrons que c'est la seule : supposons pour cela qu'il existe une solution f(n) qui ne soit pas la fonction identité. Soit alors p >=0 la plus petite valeur pour laquelle f(n) diffère de l'identité : f(p)<>p et f(k)=k pour tout k<p.
1) démontrons d'abord que f(p)>=p
Soit b la plus petite valeur de f(n), pour n >= p
Soit a>=p une des valeurs pour lesquelles f(a)=b
Si a=0, alors p=0 (puisque a>=p) et évidemment f(p)>=p
Si a>0, alors f(a)>f(f(a-1)) et donc f(a-1)<p puisque f(a) est la plus petite valeur de f(n) pout tous n >=p
Mais f(a-1)<p implique f(f(a-1))=f(a-1) puisque f(k)=k pour tout k<p, par définition de p.
Donc f(a)>f(a-1) et par conséquent a-1<p puisque f(a) est la plus petite valeur de f(n) pout tous n >=p
Donc a = p (puisque a>=p et a-1<p) et donc f(p)=f(a)>f(a-1)=f(p-1)=p-1
Soit f(p)>=p, CQFD
2) démontrons alors que f(p)<=p
Soit d la plus petite valeur de f(n), pour n >= p+1
Soit c>=p+1 une des valeurs pour lesquelles f(c)=d
Comme c>=p+1, c>0 et on a alors f(c)>f(f(c-1)) et donc f(c-1)<p+1 puisque f(c) est la plus petite valeur de f(n) pout tous n >=p+1
Mais f(c-1)<=p implique f(f(c-1))>=f(c-1) puisque f(k)=k pour tout k<p et f(p)>=p d'après 1) ci dessus
Donc f(c)>f(f(c-1))>=f(c-1), soit f(c)>f(c-1)
Donc c-1<p+1 puisque f(c) est la plus petite valeur de f(n) pout tous n >=p+1
Donc c>=p+1 et c-1<p+1, soit c=p+1
Mais (quelques lignes plus haut) on a f(c-1)<p+1, soit f(p)<p+1, donc f(p) <= p. CQFD
1) et 2) montrent alors f(p)=p, ce qui est en contradiction avec la définition de p. Il n'existe donc pas de solution autre que l'identité pour l'équation demandée.
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