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khatir123
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khatir123

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MessageSujet: réciproque   réciproque EmptyDim 26 Oct 2008, 13:27

Salut;
je vous propose de résoudre l'exo suivant:

soit f la fonction définie par f(x)=arctan(racine((x^3)+3)/x£I=[-rac cubic 3;+00[
1)démontrer que f est une bijection de I vers J qu'on déterminera.
2)trouver f^{-1};
@+
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MessageSujet: Re: réciproque   réciproque EmptyDim 26 Oct 2008, 13:48

1/bon J=[0,pi/2[
2/f(y)=x
<=>Arctan(3V(y^3+3)=x
<=>3V(y^3+3=tanx
<=>y^3+3=tan^3x
<=>y=3V(tan^3x-3)
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MessageSujet: Re: réciproque   réciproque EmptyDim 26 Oct 2008, 14:04

soit a et b de I
a>b==>a^3>b^3>-3=>a^3+3>b^3+3>0==>V(a^3+3)>V(b^3+3)>0
arctan croissante sur R+ donc arctan(Va^3+3)>arctan(Vb^3+3)==>f(a)>f(b)==>f strictement croissante sur I
on sait que
x[-->x^3+3 est continue sur I et positive sur I donc
x|-->V(x^3+3) est continue sur I (soit g cette fonction)
et on sait que la fonction arctan est continue sur R+ speciamemnt sur I d'ou f =arctanog continue sur I
f strictement croissante sur I et continue sur I==>f bijection de I vers
f(I)=[f(-racubik3).limf+00[
f(I)=[0.pi/2[=J

qqsoit y de J E! x de I f(x)=y=>arctan(V(x^3+3))=y
y e [0.pi/2[=>V(x^3+3)=tany==>x^3=tan²y-3
si y e [0.pi/3]alors x<0=>x=-racinecubik(tan²y-3)
si y e [pi/3.pi/2[ alors x>0==>x=racinecubique(tan²y-3)

f-1x J---->I
x[--->-racinecubik(tan²x-3) ; si x e [0.pi/3]
x[--->racinecubik(tan²y-3) ; si e [pi/3.pi/2(
sauf erreur


Dernière édition par L le Dim 26 Oct 2008, 14:17, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: réciproque   réciproque EmptyDim 26 Oct 2008, 14:05

est ce que racine(x^3+3) c'est racine carre ou cubique
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khatir123
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MessageSujet: Re: réciproque   réciproque EmptyDim 26 Oct 2008, 14:06

L a écrit:
soit a et b de I
a>b==>a^3>b^3>-3=>a^3+3>b^3+3>0==>V(a^3+3)>V(b^3+3)>0
arctan croissante sur R+ donc arctan(Va^3+3)>arctan(Vb^3+3)==>f(a)>f(b)==>f strictement croissante sur I
on sait que
x[-->x^3+3 est continue sur I et positive sur I donc
x|-->V(x^3+3) est continue sur I (soit g cette fonction)
et on sait que la fonction arctan est continue sur R+ speciamemnt sur I d'ou f =arctanog continue sur I
f strictement croissante sur I et continue sur I==>f bijection de I vers
f(I)=[f(-racubik3).limf+00[
f(I)=[0.pi/2[=J

qqsoit y de J E! x de I f(x)=y=>arctan(V(x^3+3))=y
y e [0.pi/2[=>V(x^3+3)=tany==>x^3=tan²y-3
si y e [0.pi/3]alors x<0=>x=-racinecubik(tan²y-3)
si y e [pi/3.pi/2[ alors x>0==>x=racinecubique(tan²y-3)

f-1x J---->I
x[--->-racinecubik(3-tan²y) ; si x e [0.pi/3]
x[--->-racinecubik(tan²y-3) ; si e [pi/3.pi/2(
sauf erreur
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MessageSujet: Re: réciproque   réciproque EmptyDim 26 Oct 2008, 14:18

oui pardon zalat clavier je m'excuse j'ai edite
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