Bonjour,
Si les quatre racines sont distinctes, j'ai une assez drôle démonstration :
On peut supposer sans restriction que le coefficient de x^4 dans P est 1.
j'appelle a1, a2, a3 et a4 les racines de P avec 0 < a1 < a2 < a3 < a4
On a évidemment P'(a1) < 0, P'a2) > 0, P'(a3) < 0 et P'(a4) > 0
Soit f(x) = e^(-1/x) (P(x) - P'(x))/x^4 prolongée en 0 par f(0)=0.
f est continue sur R et dérivable au moins sur R+
f(0) = 0
f(a1) > 0
f(a2) < 0
f(a3) > 0
f(a4) < 0
lim_{x->+inf} f(x) = +1
Donc f' s'annule au moins :
en b1 (entre 0 et a2) avec f(b1) > 0
en b2 (entre a1 et a3) avec f(b2) < 0
en b3 (entre a2 et a4) avec f(b3) > 0
en b4 (entre a3 et +inf) avec f(b4) < 0
Compte tenu des positions et des signes des f(b_i), on a clairement 0 < b1 < b2 < b3 < b4
Et : f'(x) = e^(-1/x)/x^4 [ (1 - 4x)/x^2 P(x) + (1 - (1 - 4x)/x^2)P'(x) - P''(x)]
Ce qui clôt la démonstration.
Il reste à analyser le cas des racines multiples ...
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Patrick
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