Bonsoir,
- abdelbaki.attioui a écrit:
- Soit f :Z--> Z surjective. Montrer qu'il exitent g,h:Z-->Z surjectives telles que f(x)=g(x)h(x) pour tout x de Z
Pour x dans Z, soit a(x) le plus grand entier naturel dont le carré divise |x| si x est non nul, et a(0) = 0.
Soit g:
g(x) = a(f(x)) si |f(x)| est nul ou carré parfait
g(x) = -a(f(x)) dans les autres cas
Et soit h:
h(x) = 0 si g(x)=0
h(x) = f(x)/g(x) dans les autres cas
f(x) = g(x)h(x) par définition
Pour la surjectivité :
f surjective ==> il existe x1 tel que f(x1) = 0. De plus, pour tout x de N*, il existe x2 tel que f(x2)=x^2 , x3 tel que f(x3)=2x^2 et x4 tel que f(x4) = -x^2. Alors :
g(x1) = 0
h(x1) = 0
g(x2) = x
h(x2) = x
g(x3) = -x
h(x4) = -x
g et h sont donc bien surjectives.
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Patrick
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