Inégalité fonctionnelle

Montrer qu'il n'existe pas de fonction f de]0,+00[ dans lui même telle que
f(x+y)>=f(x)+yf(f(x)) pour tout x,y>0

Bonjour,

abdelbaki.attioui a écrit:

Montrer qu'il n'existe pas de fonction f de]0,+00[ dans lui même telle que
f(x+y)>=f(x)+yf(f(x)) pour tout x,y>0

Comme f(f(x)) > 0 , en fixant x et faisant tendre y vers + inf, on voit que f(x) --> + inf quand x -> +inf. Il existe donc x0 tel que f(f(x0)) > 1.

En prenant alors y0 > (x0+1-f(x0))/(f(f(x0))-1), on a y0 f(f(x0)) > x0 + y0 + 1 - f(x0) et donc f(x0+y0) >= f(x0) + y0f(f(x0)) > x0 + y0 +1.

On a alors f(x0+y0 + [f(x0+y0)-x0-y0]) >= f(x0+y0) + [f(x0+y0)-x0-y0]f(f(x0+y0)), soit 0 >= f(x0+y0) + [f(x0+y0) - x0 - y0 - 1]f(f(x0+y0)).

Or cette dernière inégalité est impossible puisque f(x0+y0) > 0, f(f(x0+y0)) > 0 et f(x0+y0) > x0 + y0 + 1

f n'existe pas.
CQFD