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 Exo interessant de fonction ....!!!

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miss-Design
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MessageSujet: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 15:21

saluut !!
un Exo de la leçon : généralités sur les fonctions
-----------------------
soit ƒ une fonction , tel que :
ƒ(x.y)=ƒ(x).ƒ(y)
ƒ(x+y)=ƒ(x)+ƒ(y)

(( pour tout (x,y) £ R^2 ))
______

montrez que pour tout x de R :
ƒ(x)=x

(( f est injective ))
--------------------


Dernière édition par miss-Design le Mer 12 Nov 2008, 13:38, édité 1 fois
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madani
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 17:33

bsr
1er indication
a laide de la 2eme egualité et en posant x=y=0 montrer que
f(0)=0 et a laide de la 1eme egualité et en posant x=y=1montrer que
f(1)=1
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Perelman
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 17:38

on a:
ƒ(x.y)=ƒ(x).ƒ(y)
ƒ(x+y)=ƒ(x)+ƒ(y)
donc:
ƒ(0+y)=ƒ(0)+ƒ(y) => f (0) =0

ƒ(1.y)=ƒ(1).ƒ(y)=> f(1) = 1

donc f s'ecrit sous forme de : ƒ(x)= a.x ( a appartient à IR ).
on sait que f(1)= 1 donc ax=1 et x=1 donc a=1.
alors f( x) = 1.x=x.
Wink
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madani
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 17:50

ƒ(1.y)=ƒ(1).ƒ(y)=> f(1) = 1
ƒ(1.y)=ƒ(1).ƒ(y)=> f(1) = 1 ou f=0 et il faut montrer que f#0
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mathema
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 17:52

salut Smile :
on a pr tt x;y£IR:
f(x+y)=f(x)+f(y)==> f(ax)=af(x).
donc: f(xy)=xf(y)=f(x).f(y).
===> f(x)=x.
NB:
ma reponse donc juste des indications mais c'est pas une reponse complete...
alors à vous de jouer.
______________________________________________________________
lahoucine Smile
@+-+
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Lotus_Bleu
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 17:56

mathema a écrit:
salut Smile :
on a pr tt x;y£IR:
f(x+y)=f(x)+f(y)==> f(ax)=af(x).
donc: f(xy)=xf(y)=f(x).f(y).
===> f(x)=x.
NB:
ma reponse donc juste des indications mais c'est pas une reponse complete...
alors à vous de jouer.........

Lut Frérot !!
IL NE FAUT PAS OUBLIER que f=0 sur IR est ossi une SOLUTION du system !!!! Donk l'énoncé était faux au départ !!!
Hormis celle-là :
Avc ce genre d'exo , vous pouvé tout démontrer jusqu'à Q :
on pe montrer que si f est NON IDENTIKEMEN NULLE sur IR alors f(r)=r pour tout r dans Q
MAIS , pas possible de sauter la BARRIERE vers IR à défaut de monotonie ou de continuité okel cas on utilise la densité de Q dans IR ....


Dernière édition par Lotus_Bleu le Mar 11 Nov 2008, 18:16, édité 6 fois
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madani
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 17:59

f(x+y)=f(x)+f(y)==> f(ax)=af(x).
non cé trop vite montre d abord f(2x)=2f(x) et apres a l aide d1 demonstration par reccurrence f(nx)=nf(x) !
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madani
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 18:41

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Perelman
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 19:19

la demo de f(nx)=nf(x) par reccurence.
on va montrer que:
f((n+1)x)=(n+1)f(x).
(n+1)f(x)=f(x)n+f(x)
on sait que: f(nx)=nf(x) alors:
(n+1)f(x)=f(x)n+f(x)=f(nx)+f(x)
=f(nx+x)
=f(x(n+1)).
donc: f(xy)=xf(y)=f(x).f(y) => f(x)=x.
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 21:13

on a (( pour tout (x,y) £ R^2 ))
on peut pas faire la récurrence ????????
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Perelman
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 21:57

nn, n est un entier naturel.
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loma.amlo
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 21:58

nn on peut po faire de recurrence dans lR
h99 je pense que tu as demontrer que pr tt n appartenant a lN
f(nx)=nf(x) et x£lR
donc tu peux po poser n=y ou n=x !! n'est-ce pas ?
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Perelman
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 22:12

je n'ai rien pose!!!

n appartient à IN.
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madani
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 22:21

h99 a écrit:
la demo de f(nx)=nf(x) par reccurence.
on va montrer que:
f((n+1)x)=(n+1)f(x).
(n+1)f(x)=f(x)n+f(x)
on sait que: f(nx)=nf(x) alors:
(n+1)f(x)=f(x)n+f(x)=f(nx)+f(x)
=f(nx+x)
=f(x(n+1)).
donc: f(xy)=xf(y)=f(x).f(y) => f(x)=x.
ta cc est rapide montres f(-x)=-f(x) et conclure pr nEZ !
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mathema
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 22:30

salut à tous Smile :
ce n'est pas ça ce que je veux dire mais il est clair que c'est 1BAC alors on a pas le droit de compliquer les choses et pour résoudre ce probleme j'ai la capacité de le faire mais au haut niveau de ça mais dans ma réponse j'ai donné juste une idée ce n'est une reponse complete et a la fin de votre discussion chaud je poserai ma reponse vraie et complete.
et merci
________________________________________________________
lahoucine
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rabab moubine
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 22:32

je crois ke jé la réponse
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rabab moubine
Féru


Féminin Nombre de messages : 38
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 22:46

1) On va démontrer par récurrence que pour tout n de N : f(n)=n
2) On va démontrer que pour tout m de Z : f(m)=m
3) On va démontrer que pour tout r de Q : f(r)=r
Donc f(x)=x pour tout x de R
Voulez vous la solution ??
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Lotus_Bleu
Maître


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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 23:00

madani a écrit:
bsr
1er indication
a laide de la 2eme egualité et en posant x=y=0 montrer que
f(0)=0 et a laide de la 1eme egualité et en posant x=y=1montrer que
f(1)=1

Lut Mr Madani !!
Vous me voyez désolé de vous rektifier mais kan on fé x=y=1 on obtient
{f(1}^2=f(1)
Ce qui donne 2 choix pour f(1)
a) Soit f(1)=0 qui konduit tout droit vers la soluce f=0 sur IR
b) Soit f(1)=1 qui konduira à grands efforts de raisonnement par rekurrence , par densité de Q dans IR et en supposant en fét que f est CONTINUE à f(x)=x pour tout x dans IR
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madani
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 23:20

Lotus_Bleu a écrit:
madani a écrit:
bsr
1er indication
a laide de la 2eme egualité et en posant x=y=0 montrer que
f(0)=0 et a laide de la 1eme egualité et en posant x=y=1montrer que
f(1)=1

Lut Mr Madani !!
Vous me voyez désolé de vous rektifier mais kan on fé x=y=1 on obtient
{f(1}^2=f(1)
Ce qui donne 2 choix pour f(1)
a) Soit f(1)=0 qui konduit tout droit vers la soluce f=0 sur IR
b) Soit f(1)=1 qui konduira à grands efforts de raisonnement par rekurrence , par densité de Q dans IR et en supposant en fét que f est CONTINUE à f(x)=x pour tout x dans IR
d abord ça me fait 1 grand plaisir d etre rectifie ou mm corrigé et pr ton intervention je suppose que la slt f=0 est a ecarter car je coix que cé un oublie de l auteur de l exo et pour la continuité de f dont tu parle je voix qu elle n est pas mensionnée ds l ennoncé!!
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rabab moubine
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 23:21

1) On va démontrer par récurrence que pour tout n de N : f(n)=n
2) On va démontrer que pour tout m de Z : f(m)=m
3) On va démontrer que pour tout r de Q : f(r)=r
Donc f(x)=x pour tout x de R
Voulez vous la solution ??
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mathema
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 23:33

salut lotus-Bleu la continuite c'est pas un grande probleme a demontrer et pour que tu bien t'explorer je vous donne une sujet à démontrer:
f:IR-->IR
f(x+y)=f(x)+f(y)
Montrer que si f est continue au 0 alors elle est continue sur IR
bonne chance Smile
___________________________________________________________________
LaHoUcInE Smile
@++
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madani
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 23:35

rabab moubine a écrit:
1) On va démontrer par récurrence que pour tout n de N : f(n)=n
2) On va démontrer que pour tout m de Z : f(m)=m
3) On va démontrer que pour tout r de Q : f(r)=r
Donc f(x)=x pour tout x de R
Voulez vous la solution ??
il faut peut etre passer par l etape f(1/p)=1/p !
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madani
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 23:42

mathema a écrit:
salut lotus-Bleu la continuite c'est pas un grande probleme a demontrer et pour que tu bien t'explorer je vous donne une sujet à démontrer:
f:IR-->IR
f(x+y)=f(x)+f(y)
Montrer que si f est continue au 0 alors elle est continue sur IR
bonne chance Smile
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sorry l exo est pour les 6emes!
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mathema
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mar 11 Nov 2008, 23:50

oui je sais Mr madani mais c'est une question pour lotus_Bleu qui demande la demonstration de la CONTINUITE de f sur IR.
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mathema
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Mer 12 Nov 2008, 00:08

et pour vous rabab moubine
pour montrer que f(x)=x sur IN;Z;Q respectivement c'est trivial!!!! Very Happy en effet:
il est clair que f(1)=1 (car f#0 supposé)
*) alors dans IN.
f(nx)=f(x)+f((n-1)x)=f(x)+f(x)+f((n-2)x)=...=nf(x).
alors pr tt n£IN: f(nx)=nf(x) (x£IR).
posons x=1. f(n)=n.
*) dans Z il est clair que f(-x)=-f(x):
en effet:
f(x-x)=0=f(x)+f(-x)==>f(-x)=-f(x).
alors c'est trivial pour Z.
*) dans Q:
soit r=q/p £Q avec (q£Z et p£IN*).
f(pq/p)=q.f(1)=q=pf(q/p)==> f(q/p)=q/p==> f(r)=r.
*) il ne reste dans IR or ça notre probleme et je la laisse a la fin
merci
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MessageSujet: Re: Exo interessant de fonction ....!!!   Aujourd'hui à 10:07

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Exo interessant de fonction ....!!!
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