inégalité

Soient a et b des entiers >0 distincts tels que ab(a+b) est divisible par a²+ab+b².
Montrer que |a-b|^3>ab

Ca m'a l'air d'être faux..
Contre-ex. : a=3=b.

Je suis surpris comme toi, cet exo je l'ai trouvé dans un vieux livre en anglais.

Ok, bizarre alors..
Ils avaient dû faire une faute de frappe.
Dommage, ça avait l'air intéressant.

M'enfin, nouvel exercice : trouver l'énoncé correct et résoudre ce nouveau problème.

Maintenant l'énoncé est juste

Bonjour,

On a donc ab(a+b) = k (a^2 + ab + b^2) avec k > 0
Soit p=pgcd(a,b), et donc a=pu et b=pv avec pgcd(u,v)=1.
==> puv(u+v) = k (u^2 + uv + v^2) = ku^2 + kv(u+v) ==> v(u+v) divise ku^2, donc divise k puisque u et v sont premiers entre eux.
k = k'v(u+v) ==> pu = k'u^2 + k'v(u+v) ==> u divise k'v(u+v), donc divise k', toujours puisque u et v sont premiers entre eux.
==> k' = k''u ==> p = k''u^2 + k"v(u+v) > uv
==> p|u-v|^3 >= p > uv ==> p^3|u-v|^3 > p^2uv ==> |a - b|^3 > ab
CQFD

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Patrick