question delicate

f(X)=[racinede(Xcarré+1) -1]/X


1-donnez tarayourate de cette fonction sur [0;+ l'infini [

etude la derivation

impossible khouya khask ykon 3la lmajal ]0,+oo[

rah c sur [0; +oo[

prend x=0

pour donnez les variations de cette fonction sur ] 0;+ l'infini [
il faut chercher le taux de variation ...
on trouve que
T = - (x+y) / xy(yV(x²+1))(xV(y²+1))
et puisque x et y appartiennet à ] 0;+ l'infini [ .
alors f est strictement décroissante !

faudrai calculer le T
soit x et y de )0;+oo(
T= (V(x²+1) -1 - V(y²+1) + 1)/(x-y)
= (V(x²+1) - V(y²+1))/(x-y)
donc T>0 ce qui veut dire que f est stristement croissante sur l'intervale )0;+oo(

vous allez me demander pourquoi (V(x²+1) - V(y²+1))/(x-y)>0 ?
et ben on aura deux cas: soit x > y, on aura donc
x²+1 > y²+1
V(x²+1) > V(y²+1)
donc V(x²+1) - V(y²+1)>0
et nous avons x > y donc x-y >0 ce qui veut dire que: (V(x²+1) - V(y²+1))/(x-y)>0
le deuxième cas est que x < y, on aura donc:
x²+1 < y²+1
V(x²+1) < V(y²+1)
donc V(x²+1) - V(y²+1)<0
et nous avons x < y donc x-y <0 ce qui veut dire que: (V(x²+1) - V(y²+1))/(x-y) <0
voilà donc f est strictement croissante sur )0;+oo(

miss_teign a écrit:

vous allez me demander pourquoi (V(x²+1) - V(y²+1))/(x-y)>0 ?
et ben on aura deux cas: soit x > y, on aura donc
x²+1 > y²+1
V(x²+1) > V(y²+1)
donc V(x²+1) - V(y²+1)>0
et nous avons x > y donc x-y >0 ce qui veut dire que: (V(x²+1) - V(y²+1))/(x-y)>0
le deuxième cas est que x < y, on aura donc:
x²+1 < y²+1
V(x²+1) < V(y²+1)
donc V(x²+1) - V(y²+1)<0
et nous avons x < y donc x-y <0 ce qui veut dire que: (V(x²+1) - V(y²+1))/(x-y) <0
voilà donc f est strictement croissante sur )0;+oo(

BSR miss_teign !!!
Pardonnez moi d'intervenir mais ce n'est pas pour vous dire que c'est faux , loin de là mais seulement pour vous apporter une ASTUCE bien connue !!
La QUANTITE CONJUGUEE de V(x²+1) - V(y²+1) est
V(x²+1) +V(y²+1) . Alors pourquoi ne pas multiplier l'expres​sion(V(x²+1) - V(y²+1))/(x-y)
en Haut et en Bas par V(x²+1) +V(y²+1)
On obtiendra alors à cause de l'identité remarquable (a-b).(a+b)=a^2-b^2
{x^2-y^2}/{(x-y).(V(x²+1) +V(y²+1))}
et puisque x^2-y^2=(x-y).(x+y) et que x<>y on pourra alors simplifier par (x-y) pour obtenir au final :
(V(x²+1) - V(y²+1))/(x-y}= {x+y}/{V(x²+1) +V(y²+1)}
Expression plus sympathique à manipuler et qui évite de longues discussions !!!!

yeah!! vous avez merci pour l'astuce c très sympas!!