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 Inégalité 3

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AuteurMessage
abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Inégalité 3   Mar 06 Déc 2005, 14:45

Bonjour,
Soient A, B, C des reéls tels que ABC=1.
Montrer que
(A - 1 + 1/B)(B - 1 + 1/C)(C - 1 + 1/A) ≤ 1.


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samir
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Mar 06 Déc 2005, 15:38

je crois que A B C doivent etre positifs.
n'est ce pas ?
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Mar 06 Déc 2005, 15:52

Bonjour SAMIR

Effectivement A,B et C des réels positifs
cyclops
AA+ Crying or Very sad
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samir
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Mar 06 Déc 2005, 15:53

si ils sont positifs
on a
(B-1+1/C)=B(1-1/B +1/BC)=B(1+A-1/B)
d'ou
(A-1+1/B)(B-1+1/C) =< B (A)^2 (facile à voir ) Wink
de meme
(B-1+1/C)(C-1+1/A) =< C (B)^2

(C-1+1/A)(A-1+1/B) =< A (C)^2
en multipliant on trouve
[(A-1+1/B)(B-1+1/C)(C-1+1/A)] ^2 =< (ABC)^2 =1
d'ou l'inégalité demandé bounce
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riemann
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Mar 06 Déc 2005, 18:35

n'est ce pas un OIM?
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samir
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Mar 06 Déc 2005, 18:39

salut riemann et bienvenue Very Happy
si je me souviens c'est OIM 2000 Wink
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riemann
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Mar 06 Déc 2005, 19:07

je vous en prie.by the way,vous etes quel niveau?
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mathman
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Ven 09 Déc 2005, 17:14

samir a écrit:

en multipliant on trouve
[(A-1+1/B)(B-1+1/C)(C-1+1/A)] ^2 =< (ABC)^2 =1
d'ou l'inégalité demandé bounce

En fait on trouve :
(A - 1 + 1/B)^2 (B - 1 + 1/C)^2 (C - 1 + 1/B)^2 <= A^3B^3C^3 = 1
Ce qui nous amène à la même conclusion!

Et, Samir, tu dis "si ils sont positifs", mais, tu n'as pas prouvé que c'était vrai si il y en a au moins un négatif Wink
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Thelastmetalsong9
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Mer 21 Nov 2012, 19:20

samir a écrit:
si ils sont positifs
on a
(B-1+1/C)=B(1-1/B +1/BC)=B(1+A-1/B)
d'ou
(A-1+1/B)(B-1+1/C) =< B (A)^2 (facile à voir ) Wink
de meme
(B-1+1/C)(C-1+1/A) =< C (B)^2

(C-1+1/A)(A-1+1/B) =< A (C)^2
en multipliant on trouve
[(A-1+1/B)(B-1+1/C)(C-1+1/A)] ^2 =< (ABC)^2 =1
d'ou l'inégalité demandé bounce
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Jeu 22 Nov 2012, 23:56

abdelbaki.attioui a écrit:
Bonjour,
Soient A, B, C des reéls tels que ABC=1.
Montrer que
(A - 1 + 1/B)(B - 1 + 1/C)(C - 1 + 1/A) ≤ 1.


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un changement de variables, a=x/y et b=y/z et c=z/x résoud bien le problème
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Mer 30 Jan 2013, 22:47

voilaaa
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Ven 01 Fév 2013, 10:24

abdelbaki.attioui a écrit:
Bonjour,
Soient A, B, C des reéls tels que ABC=1.
Montrer que
(A - 1 + 1/B)(B - 1 + 1/C)(C - 1 + 1/A) ≤ 1.




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l'inegalité est équivalente à
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MessageSujet: Re: Inégalité 3   Dim 03 Fév 2013, 22:22

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