Exo Diff !!

f: P(E) ---> P(A)xP(B)
X l----> ( X^A , X^B) (^ c'est l'intersection)

prouvez que

f tabayoni <=> A U B = E
f Chomoli <=> A^B=O ( Ensemble vide)

salut !!!
vous pouvez voir la solution dans l'exercice 31 de DIMA² ...

mais dima dima daro f l'énoncé ke A U B = E et A^B=O

amjad92b a écrit:

f: P(E) ---> P(A)xP(B)
X l----> ( X^A , X^B) (^ c'est l'intersection)

prouvez que

f tabayoni <=> A U B = E
f Chomoli <=> A^B=O ( Ensemble vide)

1) <== : X^A=Y^A et , Y^B=Y^B
==> (X^A)U (X^B)= (Y^A)U(Y^B)
==> X^( AUB) = Y^(AUB) ==> X=Y
==>:
soit M=AUB , remarquons que M^A=A^E=A , et M^B=E^B=B , donc f(M)=f(E) ,l'injectivité de f implique que M=E

2) <== : soit (P,S) £ P(A)*P(B) , existe-il , un X telque : P=X^A et S=X^B ?, un petit diagramme ns Montre que PUS est une soluce , on peut trouver l'ensemble des soluces algébriquement , en effet : (PUS)^A = (P^A)U(P^S) , ona : P C A , donc : P^A=P , et puisque S C B et A^B=O , donc S^B=O par suite X^A=(PUS)^A=..=P , du meme on trouve que X^B=S , donc qlq soit (P,S) de P(A)*P(B) , il existe un X qui vérifie le systeme , il suffit de prendre X=PUS , d'ou la surjectivité de f

==> : on raisoone par l'absurde : supposons que A^B#0 soit (P,S) C (A^B)^2 , tel que P^S=O , par la surjectivité de f , il existe un X tel que P=X^A et S=X^B , ona : X^A C X et X^B C X , donc PCX et SCX , par suite (P US )C X , or (PUS) C ( A^B) ( puisque (P,S)C (A^B)^2) , donc
(PUS) C A et (PUS) C B , alors : (PUS)C (X^A) et (PUS) C(X^B) , ==>: PUS C P et PUS C S , ce qui est absurde , puisque P et S sont disjoints , d'ou le résultat

Joli demo Mr. Neutrino
Merci bcp !