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 pr ceux qui aiment le challenge ...

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milor18
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MessageSujet: pr ceux qui aiment le challenge ...   Lun 17 Nov 2008, 15:04

voilà un bon exo de fonction :
soit f la fonction définie par :
f(0)=1/2
f(x+1)=(1+f(x))/(1-f(x))
calculer f(n^2) pr tt n de N
bonne chance Wink
PS: c'est un exo de ma création, mais inspiré d'un exercice d'olympiades


Dernière édition par milor18 le Lun 17 Nov 2008, 15:08, édité 1 fois
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Perelman
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Lun 17 Nov 2008, 15:07

si on prends x=0 , f(1)= 2/0 !!!
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Lun 17 Nov 2008, 15:08

ah oui, excuse moi, je vais éditer mon post, c pas 1, mais 1/2
merci Wink
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Perelman
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Lun 17 Nov 2008, 15:12

ok, merci pour l'effort Wink
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mhdi
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Lun 17 Nov 2008, 16:39

Ca fait 20mn que je me casse la tête avec cet exercice, et en fait, j'avais mal lu. ^_^"
Premièrement, on remarque que f(x+4)=f(x) (facile à démontrer avec la relation donnée) (*)
D'autre part, on sait que n=0[4] ou n=1[4] ou n=2[4] ou n=3[4]
=> n²=0[4] ou n²=1[4]
En appliquant (*), on trouve f(n²)=f(0)=1/2 ou f(n²)=f(1)=3

@+
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 10:06

bravo mhdi, c'est bien ça la solution !!
il serait aussi utile de préciser que f(n^2)=1/2 si n est pair, et f(n^2)=3 si n est impaire !
chapeau ^^
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 10:21

à vous mnt, je voudrais que vous postiez des exos de haut niveau, les olympiades approchent à grand pas, et on n'en a un peu trop vu de séries et d'exercices qui se répètent.
donc si vous aimez bien l'idée, on résèrve ce topic pour des exos de taille, à vos clavier Wink
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Perelman
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 10:30

ok!!, voilà un bon exo, facile mais il faut de la concentration Wink

trouver tt les fonctions qui vérifie :

f(x ) + f( 2x) = 0

Bonne chance!!
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 10:40

f(2x)=-f(x)
f(4x)=-f(2x)=f(x)
donc on a : pr tt x de R : f(4x)=f(x), donc f est constante
=>f(2x)=f(x)=> 2f(x)=0 => f(x)=0
donc la seule fonction verifiant la relation donnée est la fonction nulle !
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 10:49

voilà un autre exo sympa :
montrer que l'equation sigma(x^k)=1 de k=1 jusqu'à n admet une unique solution dans l'intervalle )0;1(
Wink
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Perelman
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 12:48

je donne mon ideé, je suis pas certain car j'ai fait en vitesse!!!

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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 14:43

1+x+x^2+............+x^(n-1) n'est pas forcément superieur à 1 ( x appartient à R )
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mhdi
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 14:58

Il est facile de démontrer que l'équation admet une solution AU PLUS. Mais pour montrer qu'elle admet une solution, je n'ai pas trouvé de bonne méthode(passage par les fonctions, etc.)
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epsilon
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 15:04

mhdi a écrit:
Il est facile de démontrer que l'équation admet une solution AU PLUS. Mais pour montrer qu'elle admet une solution, je n'ai pas trouvé de bonne méthode(passage par les fonctions, etc.)
tu suppose qu'elle admet 2 solutions , et tu demontre qu'ils sont égales
(comme pour demontrer que f injective)
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mhdi
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 15:06

Voilà. Ca c'est pour démontrer qu'elle admet une solution AU PLUS(donc 1 ou 0).
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 15:06

c'est bien ça mhdi, on utilise les fonctions, t'y es presque;)
allez les amis, si vous voulez que je poste ma solution, dites le moi !
j'ai hâte de voir vos exercices Smile
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mhdi
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 15:09

1-Démontrer que f(x) est croissante
2-calculer f(0) et (1)
3-Conclure qu'elle admet une seule solution.

Mais c'est pas top je trouve. :S
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 15:13

c'est bien ça mhdi Smile
justement, après avoir demontré que f(x) est croissante, on calcule f(0) et f(1)
on obtient : f(0)=0 et f(1)=n, puisque n>1 alors f(1)>1
soit e une solution de l'equation ( nous ne savons pas si c'est la seule ) f(e)=1, donc f(0)<f(e)<f(1)
et puisque f est croissante sur R+ : 0<e<1
pour montrer que e est unique : f est strictement croissante, donc monotone, de plus il s'agit d'un polynome, donc continu sur R.
on en conclut que f(x) est une bijection, donc 1 a un seul antécédant e, donc il existe une seule solution à l'equation donnée Wink
à vous mnt
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mar 18 Nov 2008, 16:07

voilà je poste un nouvel exo en attendant que les membres s'activent :
c'est un exo d'olympiades, mais je donne une question préliminaire pour guider :
1-etudier les variations de f(x)=x/(x+1)
2- posons f(a;b)=(/a-b//(/a-b/+1)
montrer que f(a;b)<=f(a;c)+f(c;b) pr tt a,b,c différents de R
PS: /.../ veut dire la valeur absolue Wink


Dernière édition par milor18 le Ven 21 Nov 2008, 16:49, édité 2 fois
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mer 19 Nov 2008, 18:52

allez, je donne un indice : /a-b/est tjs inferieur ou egal à /a-c/+/c-b/ Wink


Dernière édition par milor18 le Mer 19 Nov 2008, 19:04, édité 1 fois
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mer 19 Nov 2008, 19:01

milor18 a écrit:
allez, je donne un indice : /a-b/est tjs supérieur ou egal à /a-c/+/c-b/ Wink

Oh !!! Mon DIEU !! Que vois-je !! lol!
L' Inégalité Triangulaire défigurée !!!!!!
Vite un Chirurgien Esthétique .........
Pour tous a, b et c dans IR , on a :
|a-b|<= |a-c| + |c-b|
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mer 19 Nov 2008, 19:03

ah, mdr !!
merci de me l'avoir signaler Wink je vais éditer mon post
alors, des idées pr l'exo ?
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neutrino
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Mer 19 Nov 2008, 20:49

milor18 a écrit:
voilà je poste un nouvel exo en attendant que les membres s'activent :
c'est un exo d'olympiades, mais je donne une question préliminaire pour guider :
1-etudier les variations de f(x)=(x+1)/x
2- posons f(a;b)=(/a-b/+1)/(/a-b/)
montrer que f(a;b)>=f(a;c)+f(c;b) pr tt a,b,c différents de R
PS: /.../ veut dire la valeur absolue Wink

prends (1,2,3) , ( si je ne me trempe pas bien sur!!)
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milor18
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Jeu 20 Nov 2008, 18:56

ah mince, j'avais encore oublié de rectifier ça ! c'est inferieur ou egal po la contraire ! merci ^^
tjs rien ? vs voulez que je propose ma solution ?
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: pr ceux qui aiment le challenge ...   Jeu 20 Nov 2008, 18:59

milor18 a écrit:
ah mince, j'avais encore oublié de rectifier ça ! c'est inferieur ou egal po la contraire ! merci ^^
tjs rien ? vs voulez que je propose ma solution ?

Hi milor18 !!!
Please ! Wait a moment !!
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