olympiade maroc 200 , test 5

a,b,c des reels strictement positifs .
montrer que :

par symétrie de role on suppose que a>b>c
donc a^3>a^2c et b^3>b^2c donc
a^3+b^3+abc>a^2c +b^2c+abc
>c(a^2+ b^2)+abc>2bca+abc>3abc
donc 1/(a^3+b^3+abc)<1/3abc

on a a^3>a^2c donc c^3+a^3>c(a^2+b^2)>2abc
donc 1/c^3+a^3+abc<1/3abc

le probleme reste a demontrer que b^3+c^3+abc>3abc

? a écrit:

le probleme reste a demontrer que b^3+c^3+abc>3abc

ton inégalité équivaut à b^3+c^3>2abc...
et elle est clairement fausse!
Normal, suffit de prendre a très grand...

alors memath tu t'amuse.
voila on sait que
a^3+b^3>=ab(a+b)
a^3+b^3+abc>=ab(a+b+c)
donc: 1/(a^3+b^3+abc)=<1/(ab(a+b+c))=c/(abc(a+b+c))
de façon symétrique aux autres:
1/(a^3+b^3+abc)+1/(c^3+b^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)=<(c+a+b)/(abc(a+b+c))=1/abc.
c du chocolat

lol , je voulais que les autres s amusent aussi hh