Re-bonjour à tous,
La difficulté semble être de prouver l'unicité de la solution f(x)=2x car la surjectivité n'est pas immédiate. Voici ma proposition :
Soit P(x,y) la proposition f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)
P(0,x) implique f(f(x))=2f(x) (comme l'a montré L)
Soit alors x>=y :
P(x-y,f(y)) donne : f(x-y+2f(y))=f(x-y+f(y))+2f(y)=f(x)+3f(y)
P(x-y+f(y),y) donne : f(x-y+2f(y))=f(x+f(y))+f(y)=f(x+y)+2f(y)
et donc f(x+y)+2f(y)=f(x)+3f(y), soit f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous x, y de R+ (la restriction x>=y s'efface car la relation obtenue est symétrique en x et y).
C'est une équation de Cauchy qui se ramène à f(x)=ax car nous avons la propriété f(x) minorée sur au moins un intervalle (puisque f(x)>=0). Rappelons que l'une quelconque des conditions "f continue", "f minorée sur un intervalle", "f majorée sur un intervalle", "f monotone" permet de ramener les solutions de l'équation de Cauchy à f(x)=ax.
En ramenant cette condition nécessaire dans l'équation initiale, il vient ax+a^2y=ax+2ay et donc a=0 ou a=2
Soit les deux seules solutions f(x)=0 et f(x)=2x.
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