Le plus petit k>0

Trouver le plus petit réel k >0 tel que

pour tous a,b,c>0

1/4?

Oui, j'connais déjà ce problème, et c'est effectivement 1/4.

Oui c'est clair que il y a égalité pour a=b=c ==> k=1/4 . Il reste à montrer l'inégalité avec k = 1/4 + epsilon puis tendre ......

Une petite idée:
Avec x=a/(a+b+c) , y=b/(a+b+c) et z=c/(a+b+c)
le problème revient à determiner la borne supérieure de l'ensemble
{ xy/(1+z) + yz/(1+x) + zx/(1+y) / x,y,z>0 , x+y+z=1 } (sauf erreur)

Pour x,y et z réels strictement positifs tels que x+y+z=1 notons
F(x,y,z) = xy/(1+z) + yz/(1+x) + zx/(1+y) et remarquons qu'on a aussi
F(x,y,z) = xy + yz + zx - xyz(1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z))
la convexité de la fonction t ==> 1/(1+t) donne alors que
F(x,y,z) <(=) xy + yz +zx - (9/4)xyz = G(x,y,z)
4G(x,y,z) = xy(4-9z) + 4z(1-z)
-Si z>4/9 on voit que 4G(x,y,z) <(=) 4z(1-z) <= 1
-Sinon vu que 4xy <(=) (x+y)² on a xy <(=) (1-z)²/4 d'où
16G(x,y,z) - 4 <(=) (1-z)²(4-9z) + 16z(1-z) - 4 c'est à dire
16G(x,y,z) - 4 <(=) -z(3z-1)² <(=) 0 ce qui prouve que
G(x,y,z) <(=) 1/4
Et comme F(1/3,1/3,1/3) = 1/4 la borne supérieure cherchée vaut bien 1/4 (sauf erreurs bien entendu)