Détermination de deux angles.

Supposons que la bissectrice de l'angle A du triangle ABC coupe BC en D.
Supposons que AB+AD=CD et AC+AD = BC.

Déterminer les angles B et C.

(Edité après la remarque ci-dessous.)

mathman a écrit:

Supposons que la bissectrice de l'angle A du triangle ABC coupe BC en D.
Supposons que AB+AD=CD et AC+AD = BD.

Déterminer les angles B et C.

tu es sur de l'enoncé
Dans le triangle ABD
AB+AD >BD
d'ou
CD >BD
de meme dans le triangle ACD on trouve
BD>CD
????

Effectivement, faute de frappe.
La deuxième condition est : AC+AD = BC.

Bonjour,

Soit 2a l'angle A
Soit x l'angle ADC
L'angle C vaut donc pi - (x+a)
L'angle B vaut donc x-a

Dans ACD, nous avons : AC/sin(x) = AD/sin(x+a) = CD/sin(a)
Dans ABD, nous avons : AB/sin(x) = AD/sin(x-a) = BD/sin(a)

AB + AD = CD <=> sin(x)/sin(x-a) + 1 = sin(a)/sin(x+a)
AC + AD = BC <=> sin(x)/sin(x+a) + 1 = sin(a)/sin(x-a) + sin(a)/sin(x+a)

Soit :

E1 : sin(x)sin(x+a) + sin(x-a)sin(x+a) = sin(a)sin(x-a)
E2 : sin(x)sin(x-a) + sin(x-a)sin(x+a) = sin(a)sin(x-a) + sin(a)sin(x+a)

E2 - E1 : - 2 sin(x)cos(x)sin(a) = sin(a)sin(x+a)
E2 - E1 : sin(a)[sin(-2x) - sin(x+a)] = 0
Les solutions :
(1) : a = kpi
(2) : -2x = x + a + 2kpi <=> a = -3x + 2kpi
(3) : pi + 2x = x + a + 2kpi <=> x = pi+a + 2kpi

On élimine les solutions (1) et (3) qui ne permettent pas de construire les triangles et on reporte (2), soit a = -3x + 2kpi dans E1:

E1b : sin(x)sin(-2x) + sin(4x)sin(-2x) = sin(-3x)sin(4x)
E1b : sin(x)sin(2x) + sin(4x)sin(2x) = sin(3x)sin(4x)
E1b : sin(2x)[2sin(3x)cos(2x) - sin(x) - sin(4x)] = 0
E1b : sin(2x)[sin(5x) - sin(4x)] = 0

les solutions :
(1) : x = kpi
(2) : 5x = 4x + 2kpi
(3) : 5x = pi - 4x + 2kpi

Soit :
(1) : x = kpi
(3) : x = pi/9 + 2kpi/9

La seule solution non triviale (triangle plat) qui convienne est alors : x=5pi/9 et a = pi/3
L'angle C vaut donc pi/9
L'angle B vaut donc 2pi/9


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Patrick