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 preparez vous aux olympiades

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mhdi
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Dim 07 Déc 2008, 21:48

Pour l'exercice de Chessmaster, j'ai aussi répondu à un exercice similaire proposé par milor18 : http://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/pr-ceux-qui-aiment-le-challenge-t10725.htm
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Dim 07 Déc 2008, 21:55

Exact avec 2005=1[4] : f(2005)=f(1)=2 Wink
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rajaa16
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Dim 07 Déc 2008, 21:57

Merci beaucoup ! =)
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Dim 07 Déc 2008, 21:58

Sinon je vous propose d'attaquer tous les exos de l'image que j'ai posté.
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Dim 07 Déc 2008, 22:31

Aussi, il ne suffit pas de faire des exos mais aussi connaitre des relations importantes genre :
inf(a;b)=<2/(1/a+1/b)=<Vab=<(a+b)/2=<V((a²+b²)/2)=<sup(a;b)

Avec : inf(a;b) = (a+b-|a-b|)/2 et sup(a;b)=(a+b+|a-b|)/2

Et : (a²+b²)(c²+d²)=(ac-bd)²+(ad+bc)²

On les utilise beaucoup dans les exercices d'olympiades.
Bonne chance à tous :d
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rajaa16
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 00:18

Merci beaucoup Chessmaster !!
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rajaa16
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 11:28

Salut, pour l'équation de Chessmaster : 4x²+10x+9=5V(2x²+5x+3)

Les solutions sont : S1 = -2 ; S2=(-5+V19)/4
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 12:10

4x²+10x+9=5V(2x²+5x+3)
==> 16x^4+80x^3+122x²+55x+6=0
==> (x+2)(2x+1)(8x²+20x+3)=0
Donc : x = -2 ou x = -1/2 ou 8x²+20x+3=0
D'où x=-2 ou x=-1/2 ou x=(-5+V19)/4 ou x=(-5-V19)/4
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rajaa16
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 12:14

Bonjour, aidez moi a résoudre cette inégalité :
On a a²+b²+c² = 1

Montrer que -1/2 =< ab+bc+ac =< 3


G pu trouver juste le premier coté : on trouve que ab+bc+ac = -1/2 + (a+b+c)²/2 , donc elle est supérieure a -1/2.

Merci

PS : @ Chessmaster, si tu as d'autres relations souvent utilisées, n'hésite pas à les partager avec nous Wink
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mhdi
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 12:15

C'est même inférieur à 1, i think.
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rajaa16
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 12:16

Chessmaster, tu n'a pas éliminé les solutions qui n'appartiennent pas au domaine de définition.

G une méthode plus simple :
on pose : V(2x²+5x+3) = X

l'équation devient : 2X² + 3 = 5X

....
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rajaa16
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 12:17

Ah oui !! C inférieur à 1 ! Ca devient facilea résoudre, donc ..
Merci
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 12:21

Pour l'équation , on a : x=-2 ou x=-1/2 ou x=(-5+V19)/4 ou x=(-5-V19)/4
(-5-V19)/4 je ne sais pas si ça vérifie l'équation mais -1/2 j'ai vérifié, donc déjà elle admet 3 solutions : x=-2 ou x=-1/2 ou x=(-5+V19)/4
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Chessmaster
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 12:24

on a :
a²+b²>2ab
b²+c²>2bc
a²+c²>2ac
donc : 2(a²+b²+c²)>2(ab+bc+ca)
a²+b²+c²>ab+bc+ca
1>ab+bc+ca
Wink
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rajaa16
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 12:35

Oui, tu as raison, -1/2 est une solution, j'avais fait une ptite faute de calcul ...
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Chessmaster
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 12:40

Ok, et pour l'inégalité on a : ab+bc+ca<=1<3
et : ab+bc+ac = -1/2 + (a+b+c)²/2 >= -1/2
D'où -1/2 =< ab+bc+ac < 3
Finalement ab+bc+ac est inférieur strictement à 3
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rajaa16
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 13:09

Voila un autre exercice que je n'ai pas pu résoudre:
Soit x,y et z strictement positifs tq : x+y+z= 1

Définir la valeur inférieur de : x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy)
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rajaa16
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 13:12

Montrer que pour tout x de [-1,1] :

/ax²+bx+c/ =< 1 => /cx²+bx+a/ =< 1
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 13:33

avec caushy shwartz:
[x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy)][1+xy+yz+zx]>=1
avec schur, puisque x+y+z=1 :
xy+yz+zx=< (1+9xyz)/4 (*)
avec AM-GM
xyz=<1/27 <=>9xyz=<1/3
on remplace dans (*)
xy+yz+zx=< (1+1/3)/4 = 1/3
<=> xy+yz+zx+1 =< 4/3
donc:
[x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy)][4/3]>=
[x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy)][1+xy+yz+zx]>=1
d'ou:
x²/(x+yz) + y²/(y+xz) + z² /(z+xy) >=3/4
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 13:35

le cas d'egalité et pour x=y=z
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 13:38

Oui mais ça serait d'utiliser cette donnée : x+y+z= 1 et trouver une valeur exacte =)
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mathsmaster
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 13:41

c ca ce que j'ai fait. lis bien la solution et tu vas voir
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 13:51

Oui pardon c'est bien ça Wink
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Lun 08 Déc 2008, 14:47

rajaa16 a écrit:
Montrer que pour tout x de [-1,1] :

/ax²+bx+c/ =< 1 => /cx²+bx+a/ =< 1

C'est quoi les conditions sur a,b et c?
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Mar 09 Déc 2008, 17:01

x=y=z et x+y+z=1
cela nous donne que le cas de d'égalité x=y=z=1/3
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MessageSujet: Re: preparez vous aux olympiades   Aujourd'hui à 09:32

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