Dure ...

soit f une fonction continue sur [0,1] telle que f(0)=f(1)

Montrer que pour tout entier naturel p , l'equation f(x+1/p)=f(x) admet au moins une solution .

bjr

remarque : si g(x) = f(x + 1/p)

alors la courbe Cg de g est translatée de Cf celle de f suivant le
vecteur V ( -1/p , 0 )

g(0) = f(1/p)

le prob revient à démontrer que ces 2 courbes se coupent sur [0,1]

par l'absurde:

Si g(x) > f(x) sur [0,1] ...... fouillez un peu ....

soit h(x) = f(x+1/p) - f(x)

donc sans perdre de géneralité , on suppose par absurde que pour tout x€[0,1] g(x) > 0 , car sinon TVI -> résultat

donc pour x=0 f(1/p) > f(0) = 1

or f(1/p) < f(1/p+1/p) = f(2/p) <....<f(p/p) = f(1) = 1 contradiction

C'est exact !

Une question :

Sous les mêmes hypothèses :
a-t-on pour tout t £ ]0,1] l'existence d'un x £ [0,1-t] tel que f(x+t) = f(x) ?

salut à tous
voilà ma reponse que je n'en suis pas trés sure
d'aprés cette équation on aurai f(1/p)=f(0)
et pour p=1 on prend f(1)=f(0) ce qui est vrai
alors il admet au moins une solution !
je veux une verification
et merci

red_mot a écrit:

salut à tous
voilà ma reponse que je n'en suis pas trés sure
d'aprés cette équation on aurai f(1/p)=f(0)
et pour p=1 on prend f(1)=f(0) ce qui est vrai
alors il admet au moins une solution !
je veux une verification
et merci

pourquoi ?

salut conan
c'est parce que j'ai pris x=0
y'a t-il des remarques khoya ???