plz c pr demain "urgeeennt" fonction

7adid jami3 tatbi9at tazayodia f lmo3rafa mn N na7wa N wa lati to7a9i9
klk soit (n,m) £ N² f(n.m)=f(n).f(m)
et f(2) = 2

voilà une solution proposé :
on a f une application de IN vers IN *
f(m.n)=f(n).f(m)
=>f(0)=f(0).2 ( en prenant m=2 et n=0 )
=>f(0)=0 **

de (*) et (**) on peut deduire que f est une application lienaire qui s'ecrit sous forme de: f(x)=ax / a appartient à IN.
on a:
f(m.n)=f(n).f(m)
=>a.m.n=f(n).f(m)
=>m.an=f(n).f(m)
=>m.f(n)=f(n).f(m)
et on a f(2)=2 donc f n'est pas la fonction nul alors on peut simplifier par f(n)
=>f(m)=m
alors on a trouve l'application de IN vers IN => f(x)=x.

[quote="h99"]
de (*) et (**) on peut deduire que f est une application lienaire qui s'ecrit sous forme de: f(x)=ax / a appartient à IN.
quote]

c'est faux !!

pq??

h99 a écrit:

pq??

tu a donné ton argument sans prouver lol , en effet : il existe une infinité de soluces pour l'équation f(xy)= f(x)*f(y)...
P.S : pour l'exo , il ya une jolie méthode avec la récurence
A+

oui, il y en a x^n et les fonctions constantes et.....

mais donner moi un contre exemple pour dire que de * et ** on ne peut pas dire que f est lienaire

h99 a écrit:

oui, il y en a x^n et les fonctions constantes et.....

mais donner moi un contre exemple pour dire que de * et ** on ne peut pas dire que f est lienaire

tu m' pas compris , le fait de dire que si f verifie les conditions ==> f est linéaire sans preuve , c'est comme tu as répondu a l'exo sans prouver aucune chose
A+

je pense que c'est triviale nn??

h99 a écrit:

je pense que c'est triviale nn??

si ça te parait triviale , Prouveez-le...

utilise tarajo3

salut à tous !!!! :
salut RIM!!!
puisque je vois que vous avez bien discuté sur ce sujet je donne une jolie methode oui c'est vrai qu'il existe une methode un peu longue et efficace mais je vous donne une tres petitr et logique ... en effet:
f:IN--->IN tq pr tt(n,m)£IN f(nm)=f(n)f(m). et f(2)=2.
on a:
f(m*m*....*m{nfois})=f(m)*f(m)*...*f(m) {n fois)
==> f(m^n)=f(m)^n
I) on pose m=2 on aura: f(2^n)=2^n.
montrons d'abord par recurrence que f(2^n)=2^n.
pour n=1 on a f(2)=2 (ce qui est vraie voir les donnés)
supposons qu'elle vraie jusqu'à n et montrons qu'elle est vraie pour n+1.
en effet:
f(2^(n+1))=f(2*2^n)=f(2)f(2^n)=2*2^n=2^(n+1).
alors c'est vraie.
et puisque 2^n £2IN.
alors posons x=2^n. on aura f(x)=x avec x£ 2IN.
alors pr tt un pair x on aura f(x)=x.
II) montrons d'abord qu'elle aussi vraie pour un impair y (y£ 2IN+1).
on a: 2+4+8+...+2^n est un nombre pair alors:
f(2+4+8+....+2^n)=2+4+8+...+2^n (*)
en d'autre part:
f(2+4+8+....+2^n)=f(2(1+2+4+...+2^(n-1))=2f(1+2+4+...+2(n-1))=2f(2^n -1)
alors f(2+4+...+2^n)=2f(2^n-1).(**)
de (*) et (**) on a:
2f(2^n -1)= 2+4+8+...+2^n.
<==> f(2^n -1)=1+2+4+...+2^(n-1)
<==> f(2^n -1)= 2^n -1.
et puisque y= 2^n - 1 est impair alors f(y)=y pr tt y impair.
CONCLUSION:
d'apres (I) et (II) on a:
pr tt n£IN on a:
f(n)=n est la seule solution.
Remarque: f=0 est aussi une solution.
PS:c'est ma methode propre.
merci a tous
__________________________________________________________________________________
LaHoUcInE
@+-+

salut !!!!!
il y a des etape où je les pas ecrire et pas demontrer mais ils sont facile car 2^n n'est pas tous les pairs de meme pour 2^n-1 c'est de montrer que:
pr tt k£IN :f(2^n + k)=2^n + k.
alors ça pour vous donner la chance de poursuivre.
mais poserai la suite a ce soir..
bonne chance.
Merci
_________________________________________________________________
LaHouCiNe
@+-+

dsl mr mathema

donner nous f(11)

attention aux précipitations...

je reviens

si l'on résoud le pb de: IR+ -------> IR+

et f sera la restriction à IN

je note Ln : la fonction log à base e= 2,718.....

et La : une fonction log à base a > 0 et distinct de 1

f(m.n) = f(m).f(n)

alors : Ln(f(mn)) = Ln(f(n)) + Ln(f(m))

Donc : Ln o f = une fonction La

d'où : f = Exp o La ( Exp : l'exponentielle à base e)

comme f(2) =2 ------> Exp(La(2)) =2

donc : La(2) = Ln(2) -------> a=e

donc : f = Exp o Ln = l'identité de IR+

conclusion : l'unique solution sur IN est f(x) = x

j croi k'on peux deduire les fonction "i3tayadya" a partir de f(2) = 2 puis on va voir si kat7a9a9 les autre condition

Salut Mr houssa :
salut a tous !!!
je crois que c'est 1ere bac SM alors Ln est hors programme
en plus Ln est definie sur IR+\{0} pas sur IR+.
et pour ta question pour f(11) il faut que tu lire ma deuxieme topique aprés ma reponse Incomplete.
j'espere que tu m'as compris.
et merci
____________________________________________________________________
LaHoUcInE
@+-+

@ mathema : jé lu la première partie de ta démo , tu as montré le résultat pour les puissances de 2 ..
@ Houssa : le log et le ln ne sont pas dans le cours de première ..

Voici ma solution :
lemme 1 : (a,b) £ N^2 , a>b ==> a>=b+1 ( Je vous laisse la preuve)
lemme 2 : f : N--N et strictement croissante ==> f(n) >= n qlq soit n £ N
Preuve : triviale avec la récurence , f(0)>=0 , et f(n+1)>f(n) ==> f(n+1)>=f(n)+1 ( d'après lemme 1 ) ==> f(n+1)>=n+1

Revenons à l'exo , pour n=1 ou 2 il est facile de vérifier que f(n)=n , supposons pour un certain n : f(n)=n et montrons que f(n+1)=n+1
ona : f(n+1)*f(n-1)= f(n^2-1)
==> f(n+1)= f(n^2-1)/f(n-1)
d'après lemme 2 : f(n-1)>=n-1
==> f(n+1) <= f(n^2-1)/(n-1)
or : f(n^2-1) < f(n^2) ( car f est strictement croissante)
donc d'après lemme 1 : f(n^2-1) <= f(n^2)-1 = f(n*n)-1 = ( f(n))^2-1 = n^2-1
càd : f(n+1) <= (n^2-1)/(n-1)= n+1 ( n#1)
or : f(n+1)>=n+1 (d'après lemme 2 ) ==> f(n+1)=n+1 récurence achevée !! , réciproquement f verifie les conditions CQFD
A++

BSR à Toutes et Tous !!!
BSR neutrino !! Chapo !!!!
Ta démo est impeccable ! Il n'y a rien à dire ni redire et c'est du niveau de Rim qui a posé la question !!

Quant à mathema , il ne démérite pas !!
Sa démo pourrait être perfectible , d'ailleurs il a promis un complément !!
Son problème concerne le calcul de f(m) lorsque m est IMPAIR et le truc , qu'il reconnait d'ailleurs , c'est qu'un entier IMPAIR est de la forme 2k+1 toujours mais pas forcément (2^n)+1

Quant à moi , qui suis nul en Arithmétique-Equa Fonctionnelles , je vais vous livrer le fruit de ma démarche tout à fait innocente dans le Post qui suivra !!

PS : je pense que mathema n'a pas entièrement réglé le problèmes pour les PAIRS !! L'entier 6 est PAIR mais ne s'écrit pas sous la forme 2^n
Par suite le problème subsiste pour les Pairs !!!!!!!!!

BSR à Toutes et Tous !!

A la lecture de l'exercice posé par Rim, je ne connaissais pas la Solution comme celle de neutrino ou de mathema ! Je connaissais la transformation de houssa mais les Ln(.) et Exp(.) c'est du niveau de BACSM et donc pas la peine de la suggérer à l'auteur de l'exercice ; c'est synonyme d'une Non-Réponse .

1) La relation vérifiée par f est extensible à un produit FINI d'entiers naturels ( par itération finie... ) : je m'explique , si n1,n2.... et nk sont k entiers naturels alors :
f( Produit {ni , i=1 à s }=Produit {f(ni) , i=1 à s }
2) Si on choisit m=2 et n entier quelconque on aura f(2n)=2.f(n)
de laquelle on peut sans difficultés déduire que f(2^n)=2^n pour tout entier et celà ne règle pas le problème pour les entiers PAIRS puisque par exemple 6 est PAIR mais ne s'écrit pas sous la forme 2^n !!!
3) Pour tout entier n , le Théorème Fondamental de l'Arithmétique , dit que n se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers , de fâçon précise , on peut écrire :
n=Produit {{pi}^ki , les pi premiers 2 à 2 distincts et ki entier , i=1 à m}
alors f(n)=Produit { {f(pi)}^ki ; i=1 à m }
Et si on compare les écritures , on conjecture la chose suivante :
Et si f(pi)=pi pour chaque i=1 à k ????
On pourrait espérer avoir f(n)=n exactement !!
4) Par conséquent , je me retrouve à chercher à prouver que :
f(p)=p pour tout entier premier
Sachant que c'est vrai déjà pour p=2 , puis que tout premier <>2 est forcément impair donc la question finale :
Prouver que f(m)=m pour tout entier IMPAIR ?????

salut Mr LHASSANE !!!
salut à tous : !!!
je crois que n'avez pas comprendre qu'est ce que je veux dire... d'abord j'ai donnée dans mon premier reponse qui est bien entendue de ma part incomplete pour que les autres nous suivre dans la resolution d'exo (( pour ne pas fait comme un ancien exo si tu rappelle Mr LHASSANE dans l'equation fonctionnelle de CAUCHY)) alors ma derniere etape c'est de montrer ((c'est tres facile pôur les BAC a demontrer)) que f(2^n + k)=2^n + k. pr tt k£IN.
alors 2^n + k contient des nombres impair et pair a la fois.
alors c'est pour ça.
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pour Mr neutrino :
Son démo presque etre effecace mais il s'ajoute queleques choses qui fait une fuite a son demo.
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et pour votre demo Mr LHASSANE tu depart toujours de l'hypothese ou f(p)=p mais c'est ça qu'on faut demontrer.
pour 6=2^2 + 2 (2^n+k).
et en realité j'ai fais ma premiere reponse pout l'utilisé dans la demo de ça.
et enfain cet exo esu un sujet d'un olympiade des mathematiques et je crois qu'il a déja posté.
et merci a tous (Amicalement)
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LaHoUcInE

slt mr Neutrino

dans un passage vous avez ecris :

d'après le lemme 2 : f(n-1)>=n-1

mais le lemme 2 : si f est strict croisst........

avez vous ce renseignement ??

mathema a écrit:

salut Mr LHASSANE !!!
et enfain cet exo esu un sujet d'un olympiade des mathematiques et je crois qu'il a déja posté.
et merci a tous (Amicalement) ......

BJR à Toutes et Tous !!!
BJR Lahoucine !!
En effet , j'ai déjà rencontré sur le Forum un Exo d'Olympiades Marocaines analogue à celui-ci et qui a donné lieu à un débat enrichissant avec pco ( Patrick ) notre Grand Spécialiste en Equations Fonctionnelles dont on garde ici un Très Bon Souvenir pour sa

GENTILLESSE ,
COMPETENCE et pour son
HUMILITE.

( un Chaleureux Bonjour à Lui là il goûte paisiblement sa retraite quelque part en FRANCE ) et c'est ICI :

https://mathsmaroc.jeun.fr/equations-fonctionnelles-f10/ex3-olympiade-marocaine7-dec-2007-devoir-n-2-t6668.htm

PS : On ne t'oublie pas PATRICK !!
Des personnes comme Toi , c'est une << denrée rare >> par les temps qui courent ....

houssa a écrit:

slt mr Neutrino

dans un passage vous avez ecris :

d'après le lemme 2 : f(n-1)>=n-1

mais le lemme 2 : si f est strict croisst........

avez vous ce renseignement ??

salut , f est strictement croissante est une condition dans l'exo ( celui-ci figure dans notre manuel scolaire..) , peut etre " Rim" a oublié de la mentionner
A+