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 une condition peu familière

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lightshadow
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lightshadow

Masculin Nombre de messages : 81
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une condition peu familière Empty
MessageSujet: une condition peu familière   une condition peu familière EmptyJeu 04 Déc 2008, 20:57

a, b, c>0 tels que a+b+c>=abc
montrer que a^2+b^2+c^2>= racine(3) * abc
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E.Thami
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une condition peu familière Empty
MessageSujet: Re: une condition peu familière   une condition peu familière EmptyVen 05 Déc 2008, 02:12

Salut !

L'am-gm donne :

a+b+c >= 3(abc)^(1/3) , en elevant au cube on obtient:

(a+b+c)^3 >= 27abc (1)
Et puisque , par hypothèse ,on a :
a+b+c>= abc (2)
En multipliant (1) par (2) on obtient : (l'ordre ne change pas puisque a b et c sont positifs)

(a+b+c)^4 >= 27(abc)^2 , en mettant la racine :
(a+b+c)^2 >= racine(27)*abc

D'autre part: l'inégalité de cauchy swartz donne :
3(a^2+b^2+c^2) >=(a+b+c)^2
En prenant en compte l'inégalité en couleur , on obtient

3(a^2+b^2+c^2) >=racine(27)*abc
On divise par 3, on obtient:

(a^2+b^2+c^2) >=racine(3)*abc
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une condition peu familière
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