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 Inégalité sur les côtés d'un triangle.

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+2
Tsuki
01111111(?)
6 participants
AuteurMessage
01111111(?)
Maître
01111111(?)


Masculin Nombre de messages : 223
Age : 34
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 19/06/2006

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MessageSujet: Inégalité sur les côtés d'un triangle.   Inégalité sur les côtés d'un triangle. EmptyVen 18 Aoû 2006, 20:43

si a,b et c sont les mesures des cotés d'un triangle tels que a+b+c=1
Montrer que Inégalité sur les côtés d'un triangle. 99c778c4f61a45cffb83ea776f7b23e8

EDIT par mathman : le titre original ("beaurifal....") ne voulait rien dire. Merci d'éviter l'utilisation de ce genre de titres à l'avenir.
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Tsuki
Débutant



Nombre de messages : 3
Date d'inscription : 29/12/2005

Inégalité sur les côtés d'un triangle. Empty
MessageSujet: Re: Inégalité sur les côtés d'un triangle.   Inégalité sur les côtés d'un triangle. EmptyVen 18 Aoû 2006, 22:34

On pose a = x+y, b = y + z, et c = x + z, avec x, y et z réels strictement positifs.
alors a + b + c = 1 devient x + y + z =1/2, et le terme de gauche de l'inégalité se transforme de la façon suivante:

(x + y)² + (y + z)² + (x + z)² + 4(x+y)(y + z)(x + z)

= (1/2-z)² + (1/2 - x)² + (1/2 - y)² + 4(1/2 - z)(1/2 - x)(1/2 - y)

=1/4 - z + z² + 1/4 - x + x² + 1/4 - y + y² + 4( 1/8 + 1/2xy + 1/2xz + 1/2 yz - 1/4(x + y + z) - xyz)

= 1/4 + x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 4xyz

=1/4 + (x + y + z)² -4xyz

=1/2 - 4xyz

< 1/2
car x, y, z strictement positifs.

NB: Par contre, il faut préciser que le triangle est non-dégénéré, car sinon il peut y avoir égalité.
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otmane
Débutant



Nombre de messages : 6
Date d'inscription : 24/11/2006

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MessageSujet: Re: Inégalité sur les côtés d'un triangle.   Inégalité sur les côtés d'un triangle. EmptySam 09 Déc 2006, 18:05

Tsuki a écrit:
On pose a = x+y, b = y + z, et c = x + z, avec x, y et z réels strictement positifs.
je me demande comment vous avez poser que a = x+y, b = y + z, et c = x + z
est 'il un théorem dans le triangle?
sunny et merci bom
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samir
Administrateur
samir


Nombre de messages : 1872
Localisation : www.mathematiciens.tk
Date d'inscription : 23/08/2005

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MessageSujet: Re: Inégalité sur les côtés d'un triangle.   Inégalité sur les côtés d'un triangle. EmptySam 09 Déc 2006, 18:10

Non
c'est une methode utile et puissante pour démontrer des inégalité avec des cotés de triangle


Dernière édition par le Sam 28 Juil 2007, 09:10, édité 1 fois
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otmane
Débutant



Nombre de messages : 6
Date d'inscription : 24/11/2006

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MessageSujet: Re: Inégalité sur les côtés d'un triangle.   Inégalité sur les côtés d'un triangle. EmptySam 09 Déc 2006, 18:12

samir a écrit:
Non
c'est une methode utile et puissante pour démontrer des inégalité avec des cotés de triangle
merci monsieur samir Like a Star @ heaven pour votre réponse ... donc on peut la géneraliser pour résoudre des promblém semblable
est t'il vrai a touts les cas bounce
et merci sunny
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Oumzil
Maître
Oumzil


Masculin Nombre de messages : 240
Age : 35
Date d'inscription : 28/08/2006

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MessageSujet: Re: Inégalité sur les côtés d'un triangle.   Inégalité sur les côtés d'un triangle. EmptySam 09 Déc 2006, 19:41

Nouvelle question : prouver Inégalité sur les côtés d'un triangle. 111111yr5
pour tout x inferieur à 6
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rim hariss
Expert sup
rim hariss


Féminin Nombre de messages : 524
Age : 32
Date d'inscription : 17/11/2006

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MessageSujet: réponse   Inégalité sur les côtés d'un triangle. EmptySam 09 Déc 2006, 23:16

prouvez que pour tout x<6 on a :
a²+b²+c²+xabc<1
a+b+c=1 ===> (a+b+c)²=1 ===> a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.

a²+b²+c²+xabc<1 <=> a²+b²+c²+xabc<a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
===> xabc<2ab+2bc+2ac.
on a x<6 ==> x/3 <2 ==> -x/3>-2 ==> -xabc/3>-2abc
===> 2ab -xabc/3>2ab-2abc=2ab(1-c).
2ab>0 et 1-c>0 (puisque a,b,c>0 et a+b+c=1 donc c<1)
donc 2ab(1-c)>0 ===> 2ab -xabc/3>0 ==>2ab>xabc/3
de la meme façon on obtient: 2ac>xabc/3 et 2bc>xabc/3.
en faisant la somme on obtient: xabc<2ab+2bc+2ac.
donc a²+b²+c²+xabc<1 pour tout x<6.
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MessageSujet: Re: Inégalité sur les côtés d'un triangle.   Inégalité sur les côtés d'un triangle. Empty

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Inégalité sur les côtés d'un triangle.
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