Exercice

f:IN -------->IN
n--------->f(n)

tel que : (qlq soit n € IN ) (fof)(n) = n+ 3

démontrer que : (qlq soit n € IN ) f(n+3)=f(n)+3
démontrer que : (qlq soit k € IN )(qlq soit n € IN ) f(n+3)=f(n-3k)+3k+3

on suppose que : f(0)=2006
calculer : f(2007)

on suppose que : f(1)=2
calculer : f(2008)

electron a écrit:

f:IN -------->IN
n--------->f(n)

tel que : (qlq soit n € IN ) (fof)(n) = n+ 3

démontrer que : (qlq soit n € IN ) f(n+3)=f(n)+3
démontrer que : (qlq soit k € IN )(qlq soit n € IN ) f(n+3)=f(n-3k)+3k+3

on suppose que : f(0)=2006
calculer : f(2007)

on suppose que : f(1)=2
calculer : f(2008)

Bsr electron , , c'est l'exo qu'on eu dans notre premier ds , franchement c'était facile et meme triviale , mais j'ai fait une récurrence louche qui est fausse (dans la deuxième question) , le stress w mayddir ...

1) (fof)(n) = n+ 3 (*)
En remplaçant n par f(n) :
fofof(n)=f(n)+3
=>f(fof(n))=f(n)+3 (**)
(*) et (**) => f(n+3)=f(n)+3

2)
Pour k=0, vrai.
Supposons que l'égalité est vrai pour k et montrons la pour k+1 :
f(n+3)=f(n-3k)+3k+3
Remplaçons n par n-3
=>f(n)=f(n-3(k+1))+3k+3
Or f(n)=f(n+3)-3
=>f(n+3)-3=f(n-3(k+1))+3k+3
=>f(n+3)=f(n-3(k+1))+3(k+1)+3

f(n+3)=f(n-3k)+3k+3 =>f(n+3)-3k-3=f(n-3k)
f(2007)=f(0-(-669)*3)=f(0+3)+2007-3=f(3)+2004
f(3)=f(0+3)=f(0-3*0)+3*0+3=2009
=>f(2007)=4013

Même technique pour calculer f(2008).

merci neutrino ,mhdi
il me manque trop de volonté et de concentration