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 Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)

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samir
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MessageSujet: Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)   Lun 08 Déc 2008, 14:27


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samir
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)   Lun 08 Déc 2008, 14:30

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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Weierstrass
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)   Lun 08 Déc 2008, 18:23

Solution postée
solution non trouver
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joystar1
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)   Lun 08 Déc 2008, 21:45

Solution postée
solution non trouver
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memath
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)   Mer 10 Déc 2008, 11:57

postée
par symetrie de role on supose que x1>=x2>=x3>=x4
donc 1/x1=<1/x2=<1/x3=<1/x4

donc:

(1+1/x1)(1+1/x2)(1+1/x3)(1+1/x4)=5=<(1+1/x4)^4

donc 1/x4>1/2 donc x4<2 donc x4=1

on recommence :

(1+1/x1)(1+1/x2)(1+1/x3)(1+1)=5=<2(1+1/x3)^3

donc x3<3 donc x3=2 ou x3=1

si x3=2 donc : (1+1/x1)(1+1/x2)(1+1/2)(1+1)=5=<3(1+1/x2)^2

donc x2<4 et donc x2=3 ou x2=2 ou x2=1

et pour chaque valeur on trouve : x1=4 ou x1=9

si x3=1 (1+1/x2)²>=5/4 donc x2=<9 ..... ect

on trouve les 4-uplets :

(x1.x2.x3.x4)={(4.3.2.1),(9.2.2.1),(8.9.1.1),(14.6.1.1),(24.5.1.1)} avec permutations en xi bien entendu !!
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)   Sam 13 Déc 2008, 13:01

Solution postée
Bonjour.
Je note les x_i par a,b,c et d
La symétrie des rôles permet de supposer que 1=<a=<b=<c=<d.
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=5=<(1+1/a)^4 ==> a=< 1/(5^(1/4)-1)<3. Donc 1=<a=<2.

Si a=2, alors 3(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=10 =< 3(1+1/b)^3
==> 2=<b=<1/((10/3)^(1/3)-1)<3. Donc b=2.
==> 9(1+1/c)(1+1/d)=20 =< 9(1+1/c)²==> c=< 1/((20/9)^(1/2)-1)<3. Donc c=2.
==> 27(1+1/d)=40 ==> 1/d=13/27 ==> d non entier. Donc a=1.

2(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=5=< 2(1+1/b)^3
==> 1=<b=<1/((5/2)^(1/3)-1)<3. Donc 1<=b=<2.

Si b=2==> 3(1+1/c)(1+1/d)=5 =< 3(1+1/c)²==> 2=<c=< 1/((5/3)^(1/2)-1)<4. Donc 2=<c=<3.
Si c=2, alors 9(1+1/d)=10 ==> d=9
Si c=3, alors 4(1+1/d)=5 ==> d=4

Si b=1 ==> ..... ( même technique)

Les solutions sont : (1,2,2,9), (1,2,3,4) , (1,1, 8,9) , (1,1, 6,14), (1,1, 5,24)et leurs permutations.

A+

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Dernière édition par abdelbaki.attioui le Lun 29 Déc 2008, 09:57, édité 3 fois
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mouakkid
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)   Dim 14 Déc 2008, 20:27

Solution Postée
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abusay
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)   Dim 14 Déc 2008, 22:22

solution postée
On a (1+1/x1) (1+1/x2) (1+1/x3) (1+1/x4) = 5

Donc on peut y conclure que x1=x2=x3=x4

C.-à-d. (1+1/x1)=√√5

Donc 1/x1=√√5-1

Alors x1=1/ (√√5-1)

Enfin x1=x2=x3=x4=1/ (√√5-1)
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MessageSujet: Re: Problème de la semaine N°163 (08/12/2008-14/12/2008)   

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