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 Olympiade : Système à résoudre

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Chessmaster
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MessageSujet: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 13:18

Bonjour,

Résoudre dans R^3 le système :

http://chessmate.ifrance.com/Images/Syst%E8me.bmp

Bonne chance Wink
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Perelman
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 13:29

je pense au'il faut utiliser le fait que (x+y+z)^2=...... Wink
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http://omm09.unblog.fr
Chessmaster
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 13:35

Oui on va l'utiliser pas seulement ça Wink
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 13:58

j'ai trouvé xyz = -8
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 14:00

et j'ai trouvé que

(2-z) * - z/8 = 1/2 - 1/z
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 14:03

d'ou
(2z-4) (z^2 - 4) =0
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 14:07

z = 2 ou -2
x = 2 ou -2
y = 2 ou -2


Dernière édition par {}{}=l'infini le Mar 09 Déc 2008, 14:09, édité 1 fois
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Chessmaster
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 14:09

Il y a un autre triplet solution au système.
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 14:10

oui j'ai courigé
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Chessmaster
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 14:13

Détermine les trois triplets ce n'est pas détaillé
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mathsmaster
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 14:48

bonne je donne la solution:
(x+y+z)²=4
x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=4
2(xy+yz+zx)=-8

1/x+1/y+1/z=1/2
<=>xyz=2(xy+yz+zx)=-8
donc on a maintenant:
-x+y+z=2
-xy+yz+zx=-4
-xyz=-8
soit P un polynome du troisieme degrée ayant x,y,z comme racin, donc:
P(a)=(a-x)(a-y)(a-z)
P(a)=a^3-a²(x+y+z)+a(xy+yz+zx)-xyz
P(a)=a^3-2a²-4a+8
P(a)=a^3+8-2a(a+2)
P(a)=(a+2)(a²-4a+4)-2a(a+2)
=(a+2)(a-2)²
donc les trois racines sont 2,2,-2
d'ou:
S={(2,2,-2);(-2,2,2);(2,2,-2);(2,-2,2);(2,-2,2);(-2,2,2)}
que je crois que ce sont tous les permutations possibles. j'ai bcp aimé cet exo.
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 14:51

C'est juste ce que tu as écrit sauf que tu as réécris les 3 triplets deux fois.
S={(2,2,-2);(-2,2,2);(2,-2,2)}
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mhdi
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Mar 09 Déc 2008, 17:13

mathsmaster a écrit:

j'ai bcp aimé cet exo.
Surtout qu'il ressemble beaucoup à celui ci : http://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/preparez-vous-aux-olympiades-t10887-30.htm
Razz
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MessageSujet: Re: Olympiade : Système à résoudre   Aujourd'hui à 05:58

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