divers

1/calculer:

2/Soit a et b de R tels que: a>1 et 0<=b

Montrer que:

slt !!

1)


alors

deja faut que a>b
ln(a+b)*ln(a-b)<=(lna)²<=>(lna)²*ln(1+b/a)*ln(1-b/a)<=(lna)²
<=>ln(1+b/a)*ln(1-b/a)<=1
b<a==>1+b/a<e==>ln(1+b/a)<1
et 0<1-b/a<1
donc ln(1-b/a)<0==>ln(1-b/a)*ln(1+b/a)<0<1 donc vrai
sauf erreur

Salu;
on a ln(1+b/a)<1 donc t a pa le droit de dire ln(1-b/a)*ln(1+b/a)<0<1 (prend le cas ou 0<ln(1+b/a)<1)

ce n'est pas un cas que
0<ln(1+b/a)<1
il ny'a que ca (1<1+b/a<e)
et ln(1-b/a)<0 car 0<1-b/a<1 donc le produit est negatif donc <1
sauf erreur.

ok Mr L merci bcp.

Dis moi ke pense tu de cette limite?
lim {x-->0)(sinx-x)/(x-tanx).

soit x de R*
on considere h(t)=(sint-t)(x-tanx)-(t-tant)(sinx-x) , t e [0.x] ( ou [x.0])

h(x)=h(0)=0 et h continue sur [0.x] derivable sur ]x.0[ selon Roll
E c de ]x.0[/h'(c)=0<=>
(cosc-1)(tanx-x)=-tan²c(sinx-x)
<=>(sinx-x)/(tanx-x)=-(cosc-1)/tan²c
quand x tend vers 0 c tend vers 0 donc lim sinx-x/tanx-x =limquand c tend vers 0 de
(cosc-1)/-tan²c=limcos-1/c²*c²/-tan²c=-1/2*-1=1/2
sauf erreur

pour la limite on
lim {x-->0)(sinx-x)/(x-tanx)=lim {x-->0) (sinx-x/x)(x/x-tanx)
=(sinx-x)'(1/x-tanx)'
=0

ca donne forme indeterminee
sauf erreur

ah oui ta raison

L je suis sur ke l idée de choisir la fonction ne tombe pa par hasard sauf si tu la trouve ou tu as deja travaillé dans un autre exo +cet limite a été donné f notre pr1 devoir donc pa de rolle ...

bien sur que l'idee ne tombe pas par hasard c'est juste une autre forme du theoreme de l'hopital ,qui est acceptable lors des ds
(ua-ub)/(va-vb)=u'(c)/v'(c)
on considere f tel que
f(x)=(ua-ub)v(c)-(va-vb)u(c)

autre methode moins"hasardeuse"
f(x)=(sinx-x)/(x-tanx) x e ]-pi.-pi/2[U]-pi/2.0[U]0.pi/2[U]pi/2.pi[
x e Df=>-x e Df
f(x)=-f(-x) donc f paire
il suffit de calculer limite a droite de 0 car =a gauche de 0
lim0+ (sinx-x)/x^3* x^3/(x-tanx)
on sait que qqsoit x>0
x-x^3/6<sinx<x-x^3/6+x^5/120(ca se demontre en derivant plusieurs fois pour montrer plusieurs inegalites)
et on demontre aussi que qqsoit x >0
on deduit que
lim0 sinx-x/x^3=-1/6
on sait que qqsoit x>0
-2x^5/15-x^3/3<x-tanx<-x^3/3
donc limx-tanx/x^3=-1/3==>limx^3/x-tanx=-3
-3*-1/6=1/2
sauf erreur