primitive difficile

Salam o alikom
determiner la primite de la fonction x -----> 1/(x²+4x+1)

A+

spiderccam a écrit:

Salam o alikom
determiner la primite de la fonction x -----> 1/(x²+4x+1)

A+

Salut spidercam !!
Si vous avez fait la méthode du Changement de Variables et après avoir écrit :
x²+4x+1=(x+2)² - 3=3.{{(x+2)/rac3}² - 1}
Vous posez Cos(t)=(x+2)/rac3
puis vous appliquez la Méthode suggérée ....
Elle demande du travail ....... c'est sûr !!!!

slt !!!

ca ne donnera pas le arccos qui est hors programme!!!!?????

mounia* a écrit:

slt !!!

ca ne donnera pas le arccos qui est hors programme!!!!?????

BSR mounia !!
Essayes de le faire en entier !!! Tu verras et tu trouveras une primitive faisant intervenir la fonction Arctanh (.)
Fonction réciproque de la fonction Tangente Hyperbolique ( Pas au Programme de BACSM ) .
Mais on peut contourner l' Obstacle grâce à la fonction Ln(.) ( voir mon Post plus bas ).
Bon Courage !!!

Mr ODL svp j'ai besoin que vous eclaircissiez uen chose
pourquoi si on a
(x+2)²-3
on peut poser x+2/V3 =cos(t)
est ce que qqsoit x de Df -1<x+2/V3<1
je n'ai pas bien compris l'idee
merci

L a écrit:

Mr ODL svp j'ai besoin que vous eclaircissiez uen chose
pourquoi si on a
(x+2)²-3
on peut poser x+2/V3 =cos(t)
est ce que qqsoit x de Df -1<x+2/V3<1
je n'ai pas bien compris l'idee
merci

Ton expres​sion(x+2)²-3 est de la forme U^2-3
alors on écrit U^2-3=3.{(U/rac3)^2-1}
et puis on sait que cos^2(t)+sin^2(t)=1 donc ici tu peux faire le changement de variables
1) U/rac3= Sin(t)
ou bien ( c'est à toi de choisir ..... )
2) U/rac3=Cos(t)
Avec l'un ou l'autre , la recherche d'une primitive se concrétise !!!
Bien entendu ce changement de variable t'impose de fait
-1=<(x+2)/V3=<1

La suite ....
Sinon (x+2)²-3 est de la forme U^2-3 avec U=(x+2)
Alors , on peut opter pour autre chose :
Tu écriras 1/{U^2-3}=(1/2rac3).{{1/(U-rac3)} - {1/(U+rac3)}}
alors là tu flaires une primitive avec des Ln(.)
C'est à Toi de creuser ....
Et c'est mieux comme celà car tu contournes les Fonctions Hyperboliques !!

La fin .....
Tu devrais trouver au final :
F(x)=(1/2rac3).Ln{|(x+2-rac3)/(x+2+rac3)|} + C
avec C constante réelle arbitraire
La primitive est valable sur J=]-2-rac3;-2+rac3[

Good work ODL,on a 1/(x²+4x+1)=1/(x+2-rac3)(x+2+rac3) (d'aprèe delta) et 1/(x+2-rac3)-1/(x+2+rac3)=2rac3/(x+2+rac3)(x+2-rac3) alors on doit multiplier par 1/2rac3 pour evoir la fonction 1/(x²+4x+1)
donc la primitive de (1/2rac3)(1/(x+2-rac3)-1/(x+2+rac3))
F(x)=(1/2rac3)(ln(x+2-rac3)-ln(x+2+rac3))+K
=(1/2rac3)(ln((x+2-rac3)/(x+2+rac3))+K

ce n est pas si compliqué :
on a x²+4x+1=(x+V3+2)(x-V3+2) (juste en calculant delta)

donc il suffit de chercher a et b tel que :

a/(x+V3+2)+b/(x-V3+2)=1/(x+V3+2)(x-V3+2)

<==> a(x-V3+2)+b(x+V3+2)=1 (pr tt x)

<==> (a+b)x+2(a+b)+V3(b-a)=1

<==> a+b=0 et 2(a+b)+V3(b-a)=1

ce qui donne a=-V3/6 et b=V3/6

et le travail devient facile , juste de Ln comme indiqué par mr Lhassane

oops jé pa vu tn poste , dsl L

Voici un exemple ou vous pouvez utiliser la methode que j ai cité :
trouvez la primitive de :