exo de suites

soit A un réel different de 1.
on considère la suite arithmetique suivante:
(pour αet b des réels)
U₀=α
et
U_n+1=AU_n+b; n appartient a IN

1°)pour tt n de IN on pose V_n=U_n-q (q réel)
calculer q pour (V_n) soit géometrique.

2°)a/calculer U_n en fonction de α,A et b.

b/calculer la somme S_n=(sigma pourk=1-->n) de U_k

voila j'espere que vous le trouverez interessant
PS:α c'est alpha

bjr

en réalité c'est très classique , peut être pour toi tu l'as vu pour la 1ere fois

1) (Vn) est géom <==> Vn+1 = k.Vn , pour tout n de IN (k fixe)

<==> Un+1 - q = kVn - kq , pour tout n de IN

<==> A.Un + b - q = k.Un - kq , pour tout n de IN

<==> k=A et b - q = -kq

<==> k=A et q = b/(1-A) si A # 1

2)a) Dans ce cas Vn = Vo.k^n = (Uo - q).A^n

Vn= (a - b/(1-A) ).A^n

Un = Vn + q = (a - b/(1-A) ).A^n + b/(1-A)

b) Sn = Uo + U1 + .......... + Un

Sn = (Vo + q) + (V1 + q)..................+ (Vn +q)

Sn = (n+1).q + Vo + V1 .......... +Vn

Sn = (n+1)b/(1-A) + Vo(1- A^n+1)/(1-A)

Sn = (n+1)b/(1-A) + (a- b/(1-A)).(1 - A^n+1) /(1-A)