Problèmes de Dirichlet. [Cadeau(x) pour pco.]

Trouver une fonction sur un sous-ensemble S de Z² telle que pour tout point (x,y) de S on ait : f(x,y) est la moyenne arithmétique de f(x+1,y); f(x-1,y); f(x,y+1); f(x,y-1).


a) Pour S = N x Z, trouver une fonction telle que |f| \leq 1.
b) Pour S = N x Z, trouver une fonction telle que |f| \leq 1.

Bonjour Mathman,

Merci du cadeau
Quelques questions :

mathman a écrit:

Trouver une fonction sur un sous-ensemble S de Z² telle que pour tout point (x,y) de S on ait : f(x,y) est la moyenne arithmétique de f(x+1,y); f(x-1,y); f(x,y+1); f(x,y-1).

Vu que la propriété au point (x,y) fait référence aux points voisins, faut-il comprendre :
a) que la propriété n'est vraie que pour les points de S dont les 4 voisins sont dans S ?
b) que la propriété est vraie pour tous les points de S, même "frontière" et que f est considérée comme nulle hors de S ?
c) que la propriété est vraie pour tous points de S, même frontières, et que pour ces derniers, la moyenne est calculée sur les voisins existants (en divisant par 1, 2, ou 3 au lieu de 4 le cas échéant)
d) que pour tous points de S, les 4 voisins sont dans S ? (ce qui revient à dire S = Z^2, et donc que j'ai tendance à écarter

mathman a écrit:

Pour S = N x Z, trouver une fonction telle que |f| \leq 1.

Euhh, je ne comprends pas le symbole \leq


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Patrick

Bonsoir Pco,

de rien.

La a).

Désolé, c'est le symbole LaTeX pour "inférieur ou égal à". (leq -> less than or equal to)

Bon, début.

mathman a écrit:

Trouver une fonction sur un sous-ensemble S de Z² telle que pour tout point (x,y) de S on ait : f(x,y) est la moyenne arithmétique de f(x+1,y); f(x-1,y); f(x,y+1); f(x,y-1).

Exemple 1 : tout ensemble S à trous tel que aucun point de S n'ait ses 4 voisins Nord Sud Est Ouest dans S ..

Exemple 2 : n'importe que sous-ensemble S avec f(x,y) = constante



Je dois être passé à côté de quelque chose :

f(x,y) = cste répond à toutes les autres questions questions (selon la constante).



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Patrick


--
Patrick

En fait, f doit satisfaire certaines conditions.
Par exemple si S \neq Z², en appelant F la frontière de S, alors si l'on connaît les valeurs de f sur F, on doit trouver les valeurs de f sur S tout entier.
Par exemple si S est fini.

La définition de la frontière? Ici , d'aprés la définition usuelle, la frontière est vide

Pourquoi f=cste ne marcherait pas ?
f est bien la moyenne arithmétique de ses 4 voisins ! : c = (c + c + c + c)/4

Yep, mais f doit être définie sur la frontière, et elle peut ne pas être constante.

Je suis désolé de ne pas comprendre.

C'est à moi de choisir f pour répondre au problème.

Je prends f constante, y compris sur la frontière.
Et hop!

D'aprés la propriété de f l'ensemble S n'est autre que Z²

Un exemple d'une fonction non constante , prendre la première p1 ou la deuxième projection p2.

Généralement, f= ap1 +bp2

Bonjour tout le monde.

Bon, on se résume :

mathman a écrit:

Trouver une fonction sur un sous-ensemble S de Z² telle que pour tout point (x,y) de S on ait : f(x,y) est la moyenne arithmétique de f(x+1,y); f(x-1,y); f(x,y+1); f(x,y-1).

Dans le message suivant, Mathman choisit la réponse a) à ma première question

Vu que la propriété au point (x,y) fait référence aux points voisins, faut-il comprendre :
a) que la propriété n'est vraie que pour les points de S dont les 4 voisins sont dans S ?

Donc, la propriété n'a pas besoin d'être vraie pour les points frontières.
Donc : S n'est pas nécessairement Z^2
f(x) = cstet marche toujours et je ne vois pas pourquoi on chercherait autre chose.

Exemple : S = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

et f = -152 en ces 9 points.

Seul (2,2) a ses 4 voisins et la propriété est bien vérifiée en (2,2)

Il y a certainement une modification à apporter dans l'énoncé.

Mathman ??


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Patrick

pco a écrit:

Je suis désolé de ne pas comprendre.

C'est à moi de choisir f pour répondre au problème.

Je prends f constante, y compris sur la frontière.
Et hop!

Tu n'as pas à être désolé.

En fait, les valeurs sur la frontière te sont données. Tu dois calculer f à l'intérieur.

Par exemple, supposons que S est le carré |x|, |y| \leq 1.
Alors on peut chercher une fonction qui est égale à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sur la frontière, et elle ne peut pas être constante.

abdelbaki.attioui a écrit:

D'aprés la propriété de f l'ensemble S n'est autre que Z²

C'est faux.
Par exemple S peut être ZN ou N² ou un carré.

abdelbaki.attioui a écrit:

Un exemple d'une fonction non constante , prendre la première p1 ou la deuxième projection p2.

Généralement, f= ap1 +bp2

Que veux-tu dire?

pco a écrit:

Exemple : S = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

et f = -152 en ces 9 points.

Seul (2,2) a ses 4 voisins et la propriété est bien vérifiée en (2,2)

Oui, pour cet exemple la fonction est constante.
Mais que dire si f vaut 152 en (1, 1) et 300 en les 8 autres points?

Hello

mathman a écrit:

En fait, les valeurs sur la frontière te sont données. Tu dois calculer f à l'intérieur

Ahhhhhh !

Il faut donc trouver f dans le coeur de S alors qu'on nous donne S et f(M) pour M sur la frontière.

Cela commence à se clarifier ...

Merci

--
patrick

Oui, voilà.

De rien.

mathman a écrit:

Trouver une fonction sur un sous-ensemble S de Z² telle que pour tout point (x,y) de S on ait : f(x,y) est la moyenne arithmétique de f(x+1,y); f(x-1,y); f(x,y+1); f(x,y-1).

Donc si (x,y) dans S, (x+1,y);(x-1,y); (x,y+1);(x,y-1) doivent être dans S

abdelbaki.attioui a écrit:

D'aprés la propriété de f l'ensemble S n'est autre que Z²

C'est faux.
Par exemple S peut être ZN ou N² ou un carré.

pourquoi C'EST FAUX

Bonjour abdelbaki.attioui

abdelbaki.attioui a écrit:

pourquoi C'EST FAUX

Il y avait une ambiguité sur ce sujet dans l'énoncé initial mais Mathman l'a levée dans sa première réponse à mes questions :

Soit S un sous-ensemble quelconque de Z^2.
On appelle "intérieur" de S l'ensemble (éventuellement vide) des points (x,y) de S tels que les quatre points (x-1,y) (x+1,y) (x,y-1) et (x,y+1) soient aussi dans S.
On appelle "frontière" de S l'ensemble (éventuellement vide) des points de S qui ne sont pas dans l'intérieur de S.

Exemples :
S = {1,2,3} X {1,2,3}
Intérieur = {(2,2)}
Frontière = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

S = N X Z
Intérieur = N* X Z
Frontière = {0} X Z

S = Z^2
Intérieur = Z^2
Frontière = ensemble vide

S = {ensemble des entiers relatifs pairs} X Z
Intérieur = ensemble vide
Frontière = S


Le problème est alors le suivant :
On te donne S et la valeur de f sur la frontière de S.

Il faut déterminer et étudier les propriétés de f dans l'intérieur de S sachant que pour tout point de l'intérieur de S, la propriété donnée par Mathman est vérifiée (moyenne arithmétique).

Mathman : tu pourrais peut-être créer un nouveau sujet avec cet énoncé modifié.

--
Patrick

Merci Patrick pour ces éclaircissement. Je pense que l'énoncé de mathman est incomplet, il faut juste préciser que la propriété arithmétique est vérifié par les points (x,y) de S tels que les quatres points (x-1,y) (x+1,y) (x,y-1) et (x,y+1) sont dans S. Je ne suis pas d'accord avec l'appelation frontière , intérieur...
A+

Oui, c'est une bonne idée pco.

Mais.... qui a modifié mon message initial?!

mathman a écrit:

Trouver une fonction sur un sous-ensemble S de Z² telle que pour tout point (x,y) de S on ait : f(x,y) est la moyenne arithmétique de f(x+1,y); f(x-1,y); f(x,y+1); f(x,y-1).


a) Pour S = N x Z, trouver une fonction telle que |f| \leq 1.
b) Pour S = N x Z, trouver une fonction telle que |f| \leq 1.

.....

pco, je ne suis pas devenu fou? Tu te souviens bien qu'il y avait autre chose au départ?

Et d'ailleurs, je vois que ce n'est pas le seul de mes messages qui a été modifié..

mathman a écrit:

En fait, f doit satisfaire certaines conditions.
Par exemple si S \neq Z², en appelant F la frontière de S, alors si l'on connaît les valeurs de f sur F, on doit trouver les valeurs de f sur S tout entier.
Par exemple si S est fini.

La définition de la frontière? Ici , d'aprés la définition usuelle, la frontière est vide

..

Salut Mathman

mathman a écrit:

mathman a écrit:

Trouver une fonction sur un sous-ensemble S de Z² telle que pour tout point (x,y) de S on ait : f(x,y) est la moyenne arithmétique de f(x+1,y); f(x-1,y); f(x,y+1); f(x,y-1).


a) Pour S = N x Z, trouver une fonction telle que |f| \leq 1.
b) Pour S = N x Z, trouver une fonction telle que |f| \leq 1.

.....

pco, je ne suis pas devenu fou? Tu te souviens bien qu'il y avait autre chose au départ?

Ah oui !!!!!!!
Absolument !
Ton message initial était beaucoup plus complet

Etrange .... (et sans marques d'édition)

--
Patrick

Heh, ouais..

Enfin, ce n'est pas (trop) grave...