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 Un autre olympiade

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topmath
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MessageSujet: Un autre olympiade   Mar 23 Déc 2008, 13:25

PS: pour le premier exo: soit x un réel >1 et n de IN different de 0
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houssa
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MessageSujet: Re: Un autre olympiade   Mar 23 Déc 2008, 13:57

bjr

ex 1:
----------

f(x) = 1+(x-1)/nx - rac(nième x) pour x >= 1

f'(x)= [1 -x.rac(nième x)] / nx^2 <0 pour x>= 1

f est décroissante =====> f(x) < f(1) = 0

====> 1 - (x-1)/nx < rac(nième x)
--------------------------------------------------

de même pour l'autre inégalité.
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houssa
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MessageSujet: Re: Un autre olympiade   Mar 23 Déc 2008, 14:01

complément

pour la 2ème inégalité : utiliser : rac(nième x) < x pour , x > 1

---------------------

on peut aussi élever à la puissance n , et utiliser le binôme de Newton
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houssa
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MessageSujet: Re: Un autre olympiade   Mar 23 Déc 2008, 14:46

pour ex2:
---------------------

x=y=0-----------> f(0) = f(0)^2----------------> f(0) = 0 ou f(0) = 1

si f(0) = 0-----------> x=0 et y dans IR : f(y) = y , f est l'identité de IR

si f(0) = 1------------> x=0 et y dans IR : f(y) = 1 + y.
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stil2med
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MessageSujet: Re: Un autre olympiade   Mar 23 Déc 2008, 17:14

merci
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mathsmaster
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MessageSujet: Re: Un autre olympiade   Mar 23 Déc 2008, 19:18

houssa a écrit:
pour ex2:
---------------------

x=y=0-----------> f(0) = f(0)^2----------------> f(0) = 0 ou f(0) = 1

si f(0) = 0-----------> x=0 et y dans IR : f(y) = y , f est l'identité de IR

si f(0) = 1------------> x=0 et y dans IR : f(y) = 1 + y.
il faut toujours verifier que les solution verifient les conditions du debut, la deuxieme n'est pas une solution.
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mathsmaster
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MessageSujet: Re: Un autre olympiade   Mar 23 Déc 2008, 19:21

pour exo1:
la deuxieme côté est tres facile avec AM-GM.
la premiere côté: posez y^n=x.
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MessageSujet: Re: Un autre olympiade   Aujourd'hui à 01:09

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