Le corps C

Soit (E,|| ||) une algèbre de Banach complexe telle que pour tous x,y de E
|| xy || = || x || || y || . Monter que E=C

Bon, c'est assez facile.
Mais il faut connaître quelques trucs élémentaires sur les algèbres de Banach.
Par exemple : le spectre d'un élément est toujours non-vide;
et, si le nombre complexe t appartient à la frontière du spectre de x, alors x-t (raccourci pour x-t*1, où 1 est l'unité de l'algèbre) est appelé le diviseur topologique de zéro - c'est à dire, on peut trouver une suite y_n d'éléments de norme unité telle que (x-t)y_n tend vers 0.

Ca devrait être clair maintenant.

Prenons un x quelconque, et t sur la frontière de son spectre.
Aussi prenons y_n comme ci-dessus.
Alors la norme de (x-t)y_n est égale au produit de ||x-t||*||y_n||=||x-t||.
Et en même temps ça tend vers 0 avec n.
Donc x=t.

Oui, mais l'algèbre n'est pas supposée ni unitaire ni commutative.
On pourra aussi montrer E est en fait un corps et conclure par le théorème de Gelfand-Mazur

Hmm ok je connais le théorème de Gelfand-Mazur... c'est très, très profond ^^; de la topologie algébrique en quelque sorte.

Non ce n'est pas de la topologie algébrique mais de l'analyse fonctionnelle.