Bonjour,
Je pense que l'idée est d'étudier la divisibilité par p de s(3) - s(1).
Mais en pratique, s(1) et s(3) ne sont quasiment jamais des entiers, donc il n'y a tout simplement pas de divisibilité :
Nous avons : s(m) = sum_{i=0,(p-1)/2 - 1} m^(2i)/(2i+1)
Je vais appeler s_n(m) = sum_{i=0,n} m^(2i)/(2i+1)
1) Lemme : S_n(m) ne peut être un nombre entier si n > 1 et si m <= n+1
s_n(m) = sum_{i=0,n} m^(2i)/(2i+1) peut s'écrire :
S_n(m) = (sum_{i=0,n} N(n,i)m^(2i)) / (produit_{k=0,n}(2k+1)))
Avec N(n,i) = (produit_{k=0,n}(2k+1))/(2i+1)
Le postulat de Bertrand (théorème de Tchebychev) permet de dire que pour a > 1 il existe nécessairement un nombre premier p tel que a < p < 2a.
Pour n > 1, prenons a = n+1 : il existe donc un nombre premier q tel que 2 < n+1 < q <= 2n+1
Dans S_n(m) = (sum_{i=0,n} N(n,i)m^(2i)) / (produit_{k=0,n}(2k+1))) :
- Le dénominateur est divisible par q puisque 3 <= q <= 2n+1.
- Tous les termes du numérateurs N(n,i)m^(2i) avec 2i+1 différent de q sont divisibles par q.
- Si m n'est pas divisible par q, le terme du numérateur N(n,(q-1)/2)m^(q-1) n'est pas divisible par q car, q premier impair ayant été éliminé du produit, le facteur suivant susceptible d'être divisible par q serait 3q mais 3q > 3n+3 > 2n+1 n'est pas dans la liste.
Donc, q divisant dénominateur et pas numérateur, S_n(m) ne peut être un nombre entier si n>1 et si m <= n+1.
CQFD
2) démonstration elle-même :
Donc s(1) ne peut être un nombre entier si (p-1)/2 - 1> 1 (donc si p > 5)
Pour p=5, s(1) = 4/3 n'est pas entier
De même s(3) ne peut être un nombre entier si p > 5 et si m = 3 <= n+1 = (p-1)/2 (soit p >=7)
Pour p=5, s(3) = 4
Donc p|s(1) est toujours faux si p premier > 3
et p|s(3) est toujours faux si p premier > 3
Donc (p|s(1)) <=> (p|s(3))
CQFD
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Patrick
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