x^n = e^x,

1) Montrer que pour n ∈ N, n ≥ 3, l’équation : x^n = e^x, admet une unique solution x_n dans l’intervalle [0,n].
2) Montrer que la suite (x_n)_n est décroissante convergente vers 1.
3) Montrer que x_n =1 + 1/n + 3/(2n²) +o(1/n²)

abdelbaki.attioui a écrit:

1) Montrer que pour n ∈ N, n ≥ 3, l’équation : x^n = e^x, admet une unique solution x_n dans l’intervalle [0,n].
2) Montrer que la suite (x_n)_n est décroissante convergente vers 1.
3) Montrer que x_n =1 + 1/n + 3/(2n²) +o(1/n²)

BJR Mr A.ATTIOUI !
Une réaction à chaud à votre exercice !
Votre équation est équivalente à :
Résoudre pour n>=3 {Ln(x)/x}=1/n
Ce qui conduira inéluctablement à étudier les variations de la fonction :
t ----------> f(t)={Ln(t)/t} sur IR+*
elle admet un MAXIMUM ABSOLU pour x=e et qui vaut {1/e}
On prend n>=3 pour avoir la garantie que {1/n}<{1/e}
et à s'en servir ...... ???

BSR Mr A.ATTIOUI !
Je rajouterais aussi que pour une question de cohérence , il faudrait dire que la suite {xn}n est dans ]1;e[
Car l'équation {Ln(x)/x}=1/n pour n>=3 admet DEUX SOLUTIONS , une dans ]1;e[ et l'autre dans ]e;+oo[
Il faudra alors choisir pour chaque n , la solution dans ]1;e[ pour que celà fonctionne impeccable !!!!!