une autre coriace :D

slt!!



enjoy!!

salam h99
stp tu px me donner la méthode pour résoudre ce genre d'exo !
et merci !!

f(a)=a <==> f(f(a))=f(a)=a

<==> a^9=a(a²+1)(a^6+a^4+2a^2+1)

<==> 2a^7+3a^5+3a^3+a=0

<==> a(2a²+1)(a²-a+1)(a²+a+1)=0

on voit clairement que cette equation n admet que 0 comme racin reel d ou le resultat .

memath a écrit:

f(a)=a <==> f(f(a))=f(a)=a

.

je crois que seule l'implication de gauche à droite est juste ..
voilà ma solution :
on pose t=f(0)
fof(t)= t^9/.. = 0
et f(t)= fof(0)=0
donc f( f(t))=f(0)=t ==> t=0

pr Montrer l'unicité , on suppose qu'il existe un a#0 tel que f(a)=a
==> fof(a)=f(a) or f(a)=a ==> fof(a)=a ,ce qui est absurde ( voir les trois derniers lignes de la démo de Mehdi )
A+

salut

effectivement

f(a)=a ========> fof(a)=a

contre exemple du retour: f(x) = -x

fof(1) =1 mais f(1)=-1
---------------------------------------------------------------------

une idée:

montrer que f bijective( continue strictement monotone)

comme f(0)=0

donc a est unique = 0

@ houssa : malheureusement la continuité n'est pas dans le programme du première