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 Espace vectoriel

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stracovic17
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MessageSujet: Espace vectoriel   Espace vectoriel EmptyLun 05 Jan 2009, 23:05

Montrer que la famille ((X-ai)^n)0<i<n (a1, ...an)£C distincts, est une base de Cn[X] l'espace vectoriel des polynomes de degré inférieur à n


Soit B=(P0,P1,...,Pn) un système de n+1 polynomes tel DegPk=k
0<k<n
Montrer que B est une base de Cn[X].


Dernière édition par stracovic17 le Mar 06 Jan 2009, 10:43, édité 2 fois
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mathema
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MessageSujet: Re: Espace vectoriel   Espace vectoriel EmptyLun 05 Jan 2009, 23:09

salut Wink!!!
tu peut bien clarifier votre question SVP?
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lahoucine
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stracovic17
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MessageSujet: Re: Espace vectoriel   Espace vectoriel EmptyMar 06 Jan 2009, 10:41

Vlà c'est réglé !
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hamzaaa
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MessageSujet: Re: Espace vectoriel   Espace vectoriel EmptyMar 06 Jan 2009, 12:45

La liberté de la famille se démontre aisément à l'aide d'une récurrence descendante Wink

D'ailleurs, toute famille de polynômes de degrés tous différents est libre!
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stracovic17
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MessageSujet: Re: Espace vectoriel   Espace vectoriel EmptyMar 06 Jan 2009, 13:28

Le but de l'exo est de montrer que tout système de polynômes de degrés différents est libre voire méme base dans le IK-ev adéquat
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mathema
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MessageSujet: Re: Espace vectoriel   Espace vectoriel EmptyMar 06 Jan 2009, 14:00

salut Wink !!!

il est facile de montrer que toute famille des polynomes de degrés differentes forme une base. en effet: il y'a beaucoup de cas:
*) soit par la reccurence.
*) soit la maniere classique c'est a dire montrer que cette systeme est engendre Cn[X] et {pk}(0<k<n) forme une systeme libre.
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lahoucine
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: Espace vectoriel   Espace vectoriel EmptyMar 06 Jan 2009, 17:42

Si c1(X-a1)^n +...+ cn(X-an)^n est une combinaison linéaire nulle on obtient en la dérivant en zéro , (n-j) fois pour j=0...n-1 ,

le systéme de Vandermonde : d1j.a1^j+ ... +dnj.an^j = 0dij = ci.(-1)^j / j! farao sauf erreur bien entendu
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Espace vectoriel   Espace vectoriel EmptyMar 06 Jan 2009, 19:23

BSR à Toutes et Tous !!

Très belle solution Mr ELHOR !!!
Comme d'habitude , c'est de toute beauté .
Il y a un dicton français qui dit :

C'est dans les vieux chaudrons que l'on cuisine les meilleurs plats.

Celà s'applique à Vous ; sans référence , ni relation à votre âge , car Vous Nous trouvez toujours de belles et élégantes solutions que Nous prenons tous plaisir à lire !!!!
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MessageSujet: Re: Espace vectoriel   Espace vectoriel Empty

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