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 encore un triangle

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houssa
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1693
Age : 60
Date d'inscription : 17/11/2008

MessageSujet: encore un triangle   Mar 06 Jan 2009, 16:26

salut

je propose :

ABC un triangle ,a=[BC] , b=[AC] , c=[AB]

montrer que :

2(a.cosA + b.cosB + c.cosC) =< a + b + c

.-------------------------
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neutrino
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Masculin Nombre de messages : 2684
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Date d'inscription : 09/12/2006

MessageSujet: Re: encore un triangle   Mar 06 Jan 2009, 16:40

houssa a écrit:
salut

je propose :

ABC un triangle ,a=[BC] , b=[AC] , c=[AB]

montrer que :

2(a.cosA + b.cosB + c.cosC) =< a + b + c

.-------------------------

trivial conséquence de celle ci http://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/rayons-cotes-et-angles-t11445.htm

ou b1 cos(A)= (b^2+c^2-a^2)/2(bc) et les autres ossi
puis l'inég devient : abc(a+b+c) >= sum (a^2(b^2+c^2-a^2))
<=> a^4+b^4+c^4+ abc(a+b+c) >= sum( ab(a^2+b^2))
<=> sum( a^2(a-b)(a-c)) >= 0 ce qui est l'ami schur Very Happy , et pour rendre la preuve plus rigoureuse elle équivaut à 1/2 * sum ( (a-b)^2(a+b-c)^2 ) >= 0 clairement vrai Wink
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houssa
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1693
Age : 60
Date d'inscription : 17/11/2008

MessageSujet: Re: encore un triangle   Mar 06 Jan 2009, 22:25

salut

j'ai l'impression que tu tournes en rond

je vois pas clair ta 3eme ligne

<==> a^4 + b^4 + c^4 + abc(a+b+c) >= sum ab(a^2 + b^2)

c'est plutôt >= sum 2.a^2.b^2

.
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neutrino
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2684
Age : 24
Date d'inscription : 09/12/2006

MessageSujet: Re: encore un triangle   Mer 07 Jan 2009, 11:16

houssa a écrit:
salut

j'ai l'impression que tu tournes en rond

je vois pas clair ta 3eme ligne

<==> a^4 + b^4 + c^4 + abc(a+b+c) >= sum ab(a^2 + b^2)

c'est plutôt >= sum 2.a^2.b^2

.

vs avez raison c'etait une réponse de vitesse , ( mais vs ne voyez pas que jé démntré une inég plus forte Wink ?)
sinn a^4 + b^4 + c^4 + abc(a+b+c) >= 2sum (a*b)^2
equivaut à : sum( (a^2-b^2)^2 - c^2(a-b)^2 ) >= 0
ou encore : sum ( (a-b)^2 ( (a+b)^2-c^2 )) >=0 clairement vrai
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