Forum des amateurs de maths
Vous souhaitez réagir à ce message ? Créez un compte en quelques clics ou connectez-vous pour continuer.


Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  RechercherRechercher  Dernières imagesDernières images  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  
Le Deal du moment : -10%
PC Portable Gamer ASUS TUF Gaming F15 | 15,6″ ...
Voir le deal
599.99 €

 

 problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)

Aller en bas 
+13
Kendor
karibkarim
selfrespect
Bouchra
Jerem
Yalcin
elhor_abdelali
lotfi
robalro
pilot_aziz
omarda
abdelbaki.attioui
samir
17 participants
AuteurMessage
samir
Administrateur
samir


Nombre de messages : 1872
Localisation : www.mathematiciens.tk
Date d'inscription : 23/08/2005

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 10:02

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Semainen44tk1
Revenir en haut Aller en bas
https://mathsmaroc.jeun.fr
samir
Administrateur
samir


Nombre de messages : 1872
Localisation : www.mathematiciens.tk
Date d'inscription : 23/08/2005

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 10:03

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci
Revenir en haut Aller en bas
https://mathsmaroc.jeun.fr
abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 10:47

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki
0!+1!+3!+....+2007!)²=(0!+1!+3!+4!)² (mod 5)=34² (mod 5)=1 (mod 5)
le rest de la division de (0!+1!+3!+....+2007!)² par 5 est : 1

A+
Revenir en haut Aller en bas
https://mathsmaroc.jeun.fr/
omarda
Féru



Nombre de messages : 46
Date d'inscription : 16/07/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 11:02

Bonjour
Solution postée
voici la solution de omarada
problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Sommevs3


A+
Revenir en haut Aller en bas
pilot_aziz
Maître



Masculin Nombre de messages : 92
Age : 36
Date d'inscription : 15/06/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 11:26

Bonjour
Solution postée
voici la solution de Pilot_aziz0!+1!+3!+....+2007!)²=(0!+1!+3!+4!)² (mod 5)=34² (mod 5)=1 (mod 5)
le rest de la division de (0!+1!+3!+....+2007!)² par 5 est : 1
Revenir en haut Aller en bas
robalro
Débutant



Nombre de messages : 6
Date d'inscription : 17/12/2005

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 11:33

Bonjour !

Solution postée
voici la solution de Rolbaro
le reste de cette division est 1.

Je suis nouveau, je ne sais pas s'il fait expliquer, mais j'ai effectué par récurence sur n.

Voila, bonne journée

A+
Revenir en haut Aller en bas
lotfi
Habitué
lotfi


Masculin Nombre de messages : 17
Age : 34
Localisation : casa blanca
Date d'inscription : 08/07/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 12:26

Salut

Solution postée

voici la solution de Lotfi
Bonjour
pour chaque division: a/b.
On a: a=bd+c.(c: le reste).
Dans notre cas on a: a=la somme de k!(k de 0 jusqu'a 2007). et b=5.
donc pour cette somme il y a des nombres qu'on pourrait factorisé par 5, les
autres représenterons le reste c.
à partir de 5! tout les nombres peuvent être factorisé par 5. ceux qui sont
avant non, ainsi ses nombres représente le reste.

donc: c=0!+1!+2!+3!+4!
Enfin: c=34.

Le reste de cette division est 34.

Bonjour

je ne sais pas comment ça s'est produit mais je n'ai pas vu la puissance
2(au carré) mais bon la démonstration est la même mais le reste est 1089.

Pardon mais ça arrive! Smile
Revenir en haut Aller en bas
elhor_abdelali
Expert grade1
elhor_abdelali


Masculin Nombre de messages : 488
Age : 61
Localisation : Maroc.
Date d'inscription : 24/01/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 12:54

Bonjour ;
Solution postée farao
voici la solution de ElhorBonjour Samir ;
Si on note S la somme en question on a ,
S=(0!+1!+2!+3!+4!+5A)²=(34+5A)²=(-1+5B)²
et on voit bien que ,
S=1 [5]
(Sauf erreur bien entendu)
Revenir en haut Aller en bas
http://www.ilemaths.net/forum_superieur-4.php
Yalcin
champion de la semaine



Nombre de messages : 21
Date d'inscription : 19/09/2005

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 13:47

Bonjour

Solution postée
voici la solution de yalcin
problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Solutionyalcinny9

Yalcin
Revenir en haut Aller en bas
Jerem
Débutant



Nombre de messages : 4
Date d'inscription : 15/07/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 14:22

Bonjour

Solution Postée
voici la solution de Jérém
Bonjour,
on se place dans le corps Z/5Z (5 étant un nombre premier)
pour k>=5, on a k!=0
donc la somme vaut 0!+1!+2!+3!+4!=4
et donc la somme au carré vaut 4²=1
Le reste de la division est 1

à la semaine prochaine
Jérém
Revenir en haut Aller en bas
Bouchra
Débutant



Féminin Nombre de messages : 9
Date d'inscription : 02/11/2005

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 18:23

Bonjour,

Solution postée .

--
voici la solution de Bouchra
Voici ma solution :

On a pour tout k >= 5, k! se termine par un 0 , d'où la somme de k=0 jusqu'à
p avec p >= 4 (2007 par ex) des k! se termine par le chiffre 4.
Le carré de cette somme se termine donc par le chiffre 6.
D'où le reste de la division du carré de cette somme par 5 est : 1.

Généralisation :

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Imgtk5.th

--
Bouchra
Revenir en haut Aller en bas
selfrespect
Expert sup
selfrespect


Masculin Nombre de messages : 2514
Localisation : trou noir
Date d'inscription : 14/05/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 28 Aoû 2006, 20:59

farao salut
Cool solution postèe
voici la solution de selfrespect

Posons S=∑k! k décrit{ 0,1,2.3….2007}
On remarque que ptt k de N* : k>4 implique 5 devise k!
On a S=0!+1!+2!+3!+4!+∑k! k€{5.6…2007}
Alors il est clair que le reste de la division euclidienne de S par 5=celui de (0!+1!+2!+3!+4!) càd 4
On cherche le reste de la division euclidienne de S²par5
S =4 [5] implique S² =16=1 [5]
Revenir en haut Aller en bas
karibkarim
Débutant



Nombre de messages : 4
Date d'inscription : 29/08/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyMar 29 Aoû 2006, 11:20

كيف حالكم


لم اعرف الجواب الصيغة معقدة نوعا ما
Revenir en haut Aller en bas
Kendor
Féru



Nombre de messages : 64
Localisation : Malakoff (92240)
Date d'inscription : 13/12/2005

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Solution de Kendor au problème de la semaine n°44   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyMar 29 Aoû 2006, 13:15

Bonjour!
Solution postée.
A+

voici la solution de Kendor

Soit N la somme des k!,k variant de 0 à 2007.
Pour tout k>=5,k! est un multiple de 5.
Donc N est congru à la somme des k!,k variant de 0 à 4,modulo 5.
Cette somme vaut 34 et est congrue à -1 modulo 5.
Donc N^2 est congru à (-1)^2=1 modulo 5.
Il fallait donc trouver un reste de 1.
A+
Revenir en haut Aller en bas
abdelilah
Maître
abdelilah


Masculin Nombre de messages : 206
Localisation : Lblad
Date d'inscription : 22/08/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyMar 29 Aoû 2006, 15:37

salam
solution postée
voici la solution de Abdelilah

on : sum _0 ^ 2007 k! = sum_0 ^4 [5] donc sum _0 ^ 2007 k! = 4[5] ainsi le reste est 1.
abdelilah
Revenir en haut Aller en bas
http://math4all.jeun.fr/
chouchou
Maître
chouchou


Féminin Nombre de messages : 74
Age : 34
Date d'inscription : 04/07/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyMer 30 Aoû 2006, 19:17

bonjour

solution postée

voici la solution de Chouchou
on a :

S = 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! +...........+2007!

on remarque que : 5! = 0 [5]
6! = 0 [5]
7! = 0 [5]
.. ..
.. ..
2007! = 0 [5]

et on a 4! = 4 [5]
et 3! = 1 [5]
donc 4! + 3! = 0 [5]

et 2! = 2 [5] et 1! = 1[5] et 0! = 0 [5]

alors : 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! +...........+2007! = 3 [5]
donc le reste de la division de S par 5 est 3

chouchou
Revenir en haut Aller en bas
lotfi
Habitué
lotfi


Masculin Nombre de messages : 17
Age : 34
Localisation : casa blanca
Date d'inscription : 08/07/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyJeu 31 Aoû 2006, 18:10

Salut
J'ai corrigé ma réponse j'éspere que cette dernière sera prise en compte!
Merci d'avance

Lotfi
Revenir en haut Aller en bas
Oumzil
Maître
Oumzil


Masculin Nombre de messages : 240
Age : 35
Date d'inscription : 28/08/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Salut   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyVen 01 Sep 2006, 13:49

Sollution postée !
à+
voici la solution d'Oumzil

Bonjour ,
voilà la solution que je proposes:
2007
On a : (  k !) = 2007 ! + 2006 ! + 2005 ! + ..... + 5! + 4! + 3! + 2!+ 1! +0!
K =0

2007
Donc : (  k !)  IN
K =0

On pose : A = 2007 ! + 2006 ! + 2005 ! + ..... + 5!


Donc : A est divisible sur 5


2007
On a aussi : (  k !) = A+ 4! + 3! + 2!+ 1!+0!
K =0


2007
Alors : (  k !) = A+ 4! + 3! + 2!+ 1!+0!
K =0

2007
Donc : (  k !) = A+ 24 + 6 + 2+1+1 = A+34 = A+30 + 4
K =0

Soit C un entier naturel tel que : C = (A+30)/5 ( A est divisible sur 5 et 30 aussi alors 30+A est divisible sur 5 )

2007
On a alors : (  k !)^2 = ( 5C + 4 )²
K =0
= 25C²+40C+16
= 5(5C²+8C+3) + 1

Selon la relation de la division : A = bq+r [Ou A est dividende (le nombre divisé ) et b le
2007
diviseur , q le quotient et r le reste ] le reste de la division du nombre (  k !)^2
K =0
Sur 5 est 1 .

Le reste est alors : 1

merci beaucoup de me contacter au cas ou il y a un point à discuter .
bonne journée !!


Dernière édition par le Lun 04 Sep 2006, 14:19, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
G0000D
Féru
G0000D


Masculin Nombre de messages : 37
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 30/01/2006

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptySam 02 Sep 2006, 15:03

Salam,

Solution postée Smile
voici la solution de Goood
Salam Smile

Voici donc ma réponse :
A=(Sigma[k=0->2007]k!)²=(Sigma[k=5->2007]+0!+2!+3!+4!)²=(Sigma[k=5->2007]k!+34)²
Bien entendu, pour tout k>=5, k! est un multiple de 5 et donc Sigma[k=5->2007] est un multiple de 5.
Le reste de la dévision de A par 5 est donc le reste de la dévision de 34² par 5.
34 est congru à 4 modulo 5, et donc 34² est congru à 1 modulo 5.
1 est donc le reste de la division de A par 5. Sauf erreur =)

Prenez soin, les matheux Wink
Revenir en haut Aller en bas
samir
Administrateur
samir


Nombre de messages : 1872
Localisation : www.mathematiciens.tk
Date d'inscription : 23/08/2005

problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) EmptyLun 04 Sep 2006, 07:47

montacir a écrit:
sallam oulaykoum
réponse postée
voici la solution de montacir
bonjour
pour tout k>=5 5/k! alors 5/tout les termes pour k>=5
il ne reste qu'à sommer les restes des autres termes et calculer le restes
du carreés modulo 5 on trouve 1
la reponse est 1
Revenir en haut Aller en bas
https://mathsmaroc.jeun.fr
Contenu sponsorisé





problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty
MessageSujet: Re: problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)   problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006) Empty

Revenir en haut Aller en bas
 
problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)
Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» problème N°51de la semaine (16/10/2006-22/10/2006)
» problème N°52de la semaine (23/10/2006-29/10/2006)
» problème N°53de la semaine (30/10/2006-05/11/2006)
» problème N°19 de la semaine (06/03/2006-12/03/2006 )
» problème N°14 de la semaine (30/01/2006-05/02/2006 )

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Problèmes de la semaine et du mois :: Problème de la semaine-
Sauter vers: