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 Quadrilatères.

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4 participants
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mathman
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MessageSujet: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptyLun 28 Aoû 2006, 15:53

Soit ABCD un quadrilatère satisfaisant <DAB = <BCD. Soient X, Y, Z, W les projetés orthogonaux des points D, D, B, B sur les droites AB, BC, CD, DA, respectivement.
Prouver que :
(a) Le quadrilatère XYZW est un trapèze isocèle avec XY || ZW.
(b) Ses diagonales XZ et YW s'intersectent au milieu M du segment AC.

Créé par moi.
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rockabdel
Maître



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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptyMar 26 Sep 2006, 06:52

Slt J veux juste te poser une question et j'espere que tu vas repondre mais que veut dire <DAB = <BCD
merci
a+
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samir
Administrateur
samir


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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptyMar 26 Sep 2006, 12:02

<DAB =c'est l'angle DAB
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mathman
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptyVen 20 Oct 2006, 22:07

Et donc, du nouveau sur ce problème?
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ephemere
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptySam 21 Oct 2006, 08:01

Il manque une hypothèse : parfois, cela ne marche pas.

Intuitivement, je pense que deux hypothèses supplémentaires devraient suffire :

1) A et C ne sont pas dans le même demi-plan délimité par la droite BD (peut-être que la notation pour le quadrilatère sous-entendait cela par convention).

2) les angles BAD et BCD ne sont pas des angles droits (ou alors on doit accepter un segment comme étant un trapèze isocèle dégénéré).


Dernière édition par le Sam 21 Oct 2006, 08:44, édité 1 fois
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ephemere
Féru



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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptySam 21 Oct 2006, 08:10

Remarquons d'abord que les points X,Y,Z,W sont cocycliques (ils sont sur le cercle de diamètre [BD]).

Pour démontrer le point (a), il suffit donc de démontrer que la corde [XY] est parallème à la corde [WZ].

Cela sera fini si on prouve que les petits arcs WX et YZ sont égaux.

Je raisonne à partir d'ici avec un angle BAD obtu (pareil pour l'angle BCD): les points A est alors dans le cercle de diamètre BD (pareil pour le point C). La preuve est analogue si ces angles sont aigus (mais le dessin change légèrement et des additions d'angles pourrait devenir des soustractions ou d'autres changements simples de ce genre).

Concentrons-nous sur les angles du triangle AXW. L'angle W vaut la moitier du petit arc XD. L'angle X vaut la moitier du petit arc BW. Donc l'arc WX vaut le supplément du double de la somme des angles W et X. Donc l'angle A vaut le supplément du double du supplément du petit arc XW. Or, l'angle A est égal à l'angle BAD car il lui est opposé par le sommet.

De façon analogue, en se concentrant sur les angles du triangle CYZ, on peut prouver que l'angle BCD vaut le supplément du double du supplément du petit arc YZ.

Comme les angles BAD et BCD sont égaux, on conclut que le petit arc XW vaut le petit arc YZ.

CQFD pour (a).
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mathman
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptySam 21 Oct 2006, 10:18

ephemere a écrit:
Il manque une hypothèse : parfois, cela ne marche pas.
Je ne pense pas qu'il y ait quelque chose à ajouter.
Bon, il est bien sûr convexe.

ephemere a écrit:
1) A et C ne sont pas dans le même demi-plan délimité par la droite BD (peut-être que la notation pour le quadrilatère sous-entendait cela par convention).
Oui.

ephemere a écrit:

2) les angles BAD et BCD ne sont pas des angles droits (ou alors on doit accepter un segment comme étant un trapèze isocèle dégénéré).
Oui mais ça ne devrait pas poser problème.
mathman a écrit:
Soit ABCD un quadrilatère satisfaisant <DAB = <BCD. Soient X, Y, Z, W les projetés orthogonaux des points D, D, B, B sur les droites AB, BC, CD, DA, respectivement.
La seule chose dont a besoin est 1) ici.
Mais en fait si 1) n'était pas satisfaite, ABCD ne serait pas seulement concave mais il serait même croisé.
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mathman
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptySam 21 Oct 2006, 10:49

ephemere a écrit:

Pour démontrer le point (a),

[...]

CQFD pour (a).
Quels petits arcs?
Tu dois d'abord prouver que X, Y, Z, W sont sur un cercle.
Ah, je vois ce que tu veux dire.
Mais tu dois considérer les arcs WX et YZ sur ce cercle, pas sur les cercles circonscrits aux triangles AXW et CYZ.
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ephemere
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptySam 21 Oct 2006, 12:02

Je suis d'accord que si on considère les deux conventions suivantes, le problème marche en toute généralité :

- ABCD désigne un quadriladère qui est non croisé si on parcourt ses sommets dans l'ordre A,B,C,D,A.

- si W=X et Z=Y, alors XYZW est considéré comme un trapèse isocèle dégénéré.

Je ne vois pas d'inconvéniant à adopter ces deux conventions. La première est sans doute tout à fait habituelle et la seconde n'a rien d'exotique. Very Happy

Passons donc au problème proprement dit.

*************************************************

Dans ma solution, qui est assez mal rédigée car ce n'est pas aussi facile de faire une preuve géométrique sur un forum que sur un tableu ou une feuille de papier, je ne considère qu'un seul cercle. Le cercle de diamètre [BD]. Chaque fois que je fais référence à un arc, c'est un arc de ce cercle-là.

Quand je considère le triangle AWX, et que je parle des angles A,W,X, ce sont les trois angles intérieurs de ce triangle-là. Leur somme vaut 180°. Je travaille en degré jusque la fin. Donc A=180-(W+X). Mais X est sur le cercle de diamètre BD et y intersepte l'arc BW. Donc X=BW/2. De même, W=XD/2. De plus, BW+WX+XD=180. Au total, on a : A=180-((XD+BW)/2)=180-((180-WX)/2)=90+WX/2.

Avec le triangle CYZ, on obtient : C=90+YZ/2.

Comme A=BAD=BCD=C (une hypothèse et deux paires d'angles opposés par le sommet), on a 90+WX/2=90+YZ/2, et donc WX=YZ.

Citation :
Tu dois d'abord prouver que X, Y, Z, W sont sur un cercle.
Ah, je vois ce que tu veux dire.
Comme BW est perpentidulaire à WD, le triangle BWD est rectanle en W et est donc inscrit dans un demi cercle de diamètre [BD]. C'est pareil pour X,Y et Z qui sont sur le cercle de diamètre [BD].

**************************************************

Très joli problème ! Il reste la seconde partie encore, mais là je file ranger ma chambre... Razz
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mathman
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptySam 21 Oct 2006, 13:08

ephemere a écrit:
Je suis d'accord que si on considère les deux conventions suivantes, le problème marche en toute généralité :

[...]

Je ne vois pas d'inconvéniant à adopter ces deux conventions.
Oui.
Tu peux laisser tomber la première si tu considères < DAB = < BCD comme une égalité d'angles orientés mod 180°.
Mais tu as raison, j'aurais dû écrire < DAB = < BCD \neq 90° quand j'ai proposé le problème.

ephemere a écrit:
je ne considère qu'un seul cercle. Le cercle de diamètre [BD]. Chaque fois que je fais référence à un arc, c'est un arc de ce cercle-là.
Ok.

ephemere a écrit:
Quand je considère le triangle AWX,
[...]
Au total, on a : A=180-((XD+BW)/2)=180-((180-WX)/2)=90+WX/2.
Pourquoi BW+WX+XD=180?
Que représentent BW, ... de toute façon?

Bref, il vaut mieux ne pas utiliser des arcs, écris des angles plutôt, ça évite un tas de confusions.


ephemere a écrit:
Comme BW est perpentidulaire à WD, le triangle BWD est rectanle en W et est donc inscrit dans un demi cercle de diamètre [BD].
Ah, ok maintenant je vois.

Pourquoi a-t-on X = BW/2?

Haha ok, quant à moi je ne reviendrai que ce soir, alors on continuera cette discussion plus tard! Smile
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ephemere
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptySam 21 Oct 2006, 14:42

mathman a écrit:
Pourquoi BW+WX+XD=180?
Que représentent BW, ... de toute façon?
Bref, il vaut mieux ne pas utiliser des arcs, écris des angles plutôt, ça évite un tas de confusions.
Ce sont les angles au centre correspondants à 3 arcs de cercle (pris sur le cercle de diamètre [BD]) dont la réunion vaut un demi cercle. Donc la somme de leur mesure vaut 180 (je travaille en degrés).

Je désigne par O le centre du cercle de diamètre [BD].
En réécrivant ceci avec des angles, on a :
<BOW + <WOX + <XOD = <BOD = 180.

mathman a écrit:
Pourquoi a-t-on X = BW/2?
Réécris avec des angles, on a :
<BXW = 1/2 * <BOW.

C'est une propriété bien connue : si un arc de cercle est intercepté par un angle dont le sommet est sur le cercle duquel l'arc est pris, alors la mesure de cet angle vaut exactement la moitié de la mesure de l'angle qui intercepte ce même arc et dont le sommet est au centre du cercle en question.
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mathman
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptyDim 22 Oct 2006, 18:27

Ok, ta preuve est bonne; bien qu'elle puisse être simplifiée. Smile
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ephemere
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptyDim 22 Oct 2006, 20:42

Montre-moi, s'il te plait. Very Happy
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mathman
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptyLun 23 Oct 2006, 16:03

Ben tu peux calculer WX de manière plus directe. (l'arc)
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ephemere
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptyLun 23 Oct 2006, 16:36

Oui, effectivement, c'est légèrement plus rapide de considérer directement le triangle BAD au lieu du triangle WAX puisque c'est l'angle BAD qui est concerné. Very Happy
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mathman
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MessageSujet: Re: Quadrilatères.   Quadrilatères. EmptyMar 24 Oct 2006, 19:15

Yup. Smile
Et la deuxième question maintenant?
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