aritmetique

1/Montrer que si le nombre entier n n est pas multiple de 7 on donc n^6-1 appartient a 7N.

2/Montrer que 42 divise n(n^6+1) pr tt n de N.

3/Comment faut il choisir n pour que 84 divise n(n^6-1).

pour la deuxieme fais une réccurence ca va te sortir.

bonjour

dans le programme de nos terminales , on a le petit th. de FERMAT:

a)si p est premier : a^p - a : est divisible par p.
b)si : p est premier et ne divise pas a ,
alors : a^(p-1) - 1 est divisible par p.

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1) c'est le cas pour p=7

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2) il y a une petite erreur de frappe (-) au lieu de (+)

n(n^6 - 1) = n^7 - n ====> divisible par 7

n(n^6 - 1) = n(n^3 - 1)(n^3 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2 +n+1)(n^2 -n+1)

on sait que (n-1)n(n+1) est divisible par 6

6 et 7 étant premiers entre eux

====> n(n^6 -1) divisible par 42

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3)84 = 42x2 = 4 x 3 x 7

il faut que : n(n^6 -1 ) soit divisible par 4

or a= (n^3 -1) et b= (n^3 +1) sont de même parité

si n est pair ===> a et b impairs ====> donc n doit être en plus = 4.k

si n est impair ===> a = 2.a' et b = 2.b' =====> n.a.b divisible par 4.

En résumé :
n(n^6 -1) divisible par 84 <===> n impair ou n = 4k.

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