(x+y)f(f(x)y)=x²f(f(x)+f(y)).

Trover toutes les fonctions f:R+* -> R+* telles que
(x+y)f(f(x)y) = x²f(f(x)+f(y)), pour x,y > 0.

Bonjour,

Elle n'est pas facile, celle-là !

Y a-t-il des gens qui cherchent ?
Pour l'instant, j'ai trouvé :

f(x) est non bornée
f(x) est non injective
f(x)/x est injective
f(f(x)) = x^2 f(ax) avec a = f(1)

f(x), bien que non bornée, possède, aussi loin qu'on veut, des portions décroissantes.

et d'autres petits points ... .
Mais rien de concluant.

--
Patrick

Bonjour tout le monde.

je suis un peu surpris car finalement il me semble qu'il n'y a aucune solution à ce problème (je pensais vraiment que Mathman nous avait trouvé une fonction tordue ). La démonstration est simple :

J'appelle P(x,y) la propriété : (x+y)f(f(x)y) = x^2 f(f(x)+f(y))

P(1,1) ==> 2f(f(1)) = f(2f(1))
P(f(1),2f(1)) ==> 3f(1)f(2f(f(1))f(1)) = f(1)^2 f(f(f(1))+f(2f(1)))
P(2f(1),f(1)) ==> 3f(1)f(f(2f(1))f(1)) = 4 f(1)^2 f(f(2f(1))+f(f(1)))

Donc, d'après la première de ces trois égalités, les termes de gauche des deux dernières égalités sont égaux. Leurs termes de droite sont donc égaux également, ce qui est impossible puisque f est à valeurs dans R+* et ne peut donc être nulle.

Voilà.

--
Patrick

Yep.

Ca va, je ne suis pas si monstrueux que ça.. (ou? )

Celle-ci venait bien d'une olympiade.