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 inegalité trigonométrique (Facile)

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AuteurMessage
neutrino
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MessageSujet: inegalité trigonométrique (Facile)   inegalité trigonométrique (Facile) EmptyLun 26 Jan 2009, 17:17

soit a,b,c de inegalité trigonométrique (Facile) 4120bcffe0d69395699967ff946d71f1

MQ: inegalité trigonométrique (Facile) 9350c28911742a0efa571cd139177d3b

J'espère qu'elle vous plaira Wink
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gaza1
Habitué


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MessageSujet: Re: inegalité trigonométrique (Facile)   inegalité trigonométrique (Facile) EmptyMar 27 Jan 2009, 15:54

rac[cosa/(2cosb-cosc)]+rac[cosb/(2cosc-cosa)]+rac[cosc/(2cosa-cosb)]>rac[cosa/(2cosb-cosc)+cosb/(2cosc-cosa)+cosc/(2cosa-cosb)]

d'apres CS
cosa/(2cosb-cosc)+cosb/(2cosc-cosa)+cosc/(2cosa-cosb)>(cosa+cosb+cosc)²/(cosa*cosb+cosa*cosc+cosc*cosb)>3

d'ou la resultat
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memath
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memath

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MessageSujet: Re: inegalité trigonométrique (Facile)   inegalité trigonométrique (Facile) EmptyMar 27 Jan 2009, 16:20

gaza1 a écrit:
rac[cosa/(2cosb-cosc)]+rac[cosb/(2cosc-cosa)]+rac[cosc/(2cosa-cosb)]>rac[cosa/(2cosb-cosc)+cosb/(2cosc-cosa)+cosc/(2cosa-cosb)]

d'apres CS
cosa/(2cosb-cosc)+cosb/(2cosc-cosa)+cosc/(2cosa-cosb)>(cosa+cosb+cosc)²/(cosa*cosb+cosa*cosc+cosc*cosb)>3

d'ou la resultat

tu as seulement montré que LHS>=V3
je posterai ma soluce se soir Wink
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rachid18
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rachid18

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MessageSujet: Re: inegalité trigonométrique (Facile)   inegalité trigonométrique (Facile) EmptyMar 27 Jan 2009, 20:20

neutrino a écrit:
soit a,b,c de inegalité trigonométrique (Facile) 4120bcffe0d69395699967ff946d71f1

MQ: inegalité trigonométrique (Facile) 9350c28911742a0efa571cd139177d3b

J'espère qu'elle vous plaira Wink
Mettons cos(a)=x,cos(b)=y et cos(c)=z avec 1/2 =< x,y,z =< 1,
d'apès AM-GM on a:
inegalité trigonométrique (Facile) 6fd11982f6ecd184f98e8f8da0db797c
il suffit de prouver que:
inegalité trigonométrique (Facile) Db674ee5289f35047582faf843000c5c
or,par AM-GM on a: (car y/x,z/y,x/z =< 2)
inegalité trigonométrique (Facile) 093b23f1e5b57f1da1fb591aab14dbaf
c'est ce qui est voulu.
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memath
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memath

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MessageSujet: Re: inegalité trigonométrique (Facile)   inegalité trigonométrique (Facile) EmptyMar 27 Jan 2009, 21:01

wi Rachid c est ma premiere sollution aussi et comme tu l as deja ecri je propose ma deuxieme qui est plus belle Smile :

on pose cos(a)=x² , cos(b)=y² , cos(c)=z²
l inegalité deviend :

inegalité trigonométrique (Facile) 018a9e983620540a78108da7d80d5c36

on a :

inegalité trigonométrique (Facile) E295a1faf634a0c297847047b5424498

donc il suffit de montrer que :

inegalité trigonométrique (Facile) 7628fa13690f83ed16889a85473214a2

par cauchy on a :

inegalité trigonométrique (Facile) 049f2bfe2af4258fbcd649034c7bd819

ce qui fini la preuve Wink
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MessageSujet: Re: inegalité trigonométrique (Facile)   inegalité trigonométrique (Facile) EmptyJeu 29 Jan 2009, 18:45

on pose cos(a)=x cos(b)=y cos(c)=z
ona x^2/y >=2x-y donc 1/(2x-y)>=y/x^2
donc rac(1/(2x-y))>=rac(y)/x
donc on aurra rac(z/(2x-y))>=rac(yz)/x
pour lé autres on aurra:
rac(x/2y-z) + rac(y/2z-x) + rac(z/2x-y) >= rac(xy)/z + rac(yz)/x + rac(xz)/y (*)
AM-GM nous donne (*)>=3 d'ou le resultat
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MessageSujet: Re: inegalité trigonométrique (Facile)   inegalité trigonométrique (Facile) Empty

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