Équation de Pell

Bonsoir à tous,

Me revoilà bloquée sur un fichu DM.

Si quelqu'un aurait la gentillesse de me guider, merci d'avance.

Il faut résoudre l'équation de Pell : x² - 2y² = 1

n désigne un entier relatif qui n'est pas le carré d'aucun entier relatif
Si on a n > 0, on a w = Vn (V pour racine carré), on admettra qu'il s'agit d'un irrationnel.
Si on a n < 0, on a w = iV(-n) pour toujours avoir w² = n
Soit Z[w] la partie de C définie par Z[w] = {a + bw : (a,b) € Z²}

1. Soit z = a + bw avec (a,b) € Z². Montrer que cette écriture est unique.

2. Montrer que (Z[w], +, x) est un anneau intègre.

3. Pour tout élément z = a + bw de Z[w], on note conjugué de z : z* = a - bw
Montrer que f : z |----> z* est un automorphisme d'anneau de Z[w] càad un automorphisme du groupe (Z[w], +) qui vérifie pour tout (z,z') € Z[w]², f(zz') = f(z)f(z')

4. Dans la suite, on note N(z) = zz* tout élément z = a + bw de Z[w]
Montrer les propriétés suivantes :
a) N(zz') = N(z)N(z')
b) N(z) = 0 <=> z = 0
c) N(z) € Z
d) z est inversible pour la loi x dans Z[w] <=> |N(z)| = 1
Montrer alors que z^(-1) = Kz* avec K € {-1,1}

5. Déterminer les éléments inversibles de Z[i] et de Z[iVm] avec m >= 2 entier naturel non carré

Je veux bien un peu d'aide pour la première question laquelle je ne vois pas comment aboutir ni démarrer.

Pour le reste, ça devrait aller, je ferais signe si j'ai besoin un coup de pouce.

Merci beaucoup d'avance.

LiLie,

salam

pour démarrer

1) Si : a+bw = a'+b'w <===> a-a' = (b'-b)w
au carré : (a-a')^2 = n .(b'-b)^2 =======> n est un carré ou a=a',b=b'

...........................

Merci beaucoup.

J'ai avancé et suis bloquée à la question 5), tu peux me guider s'il te plait ?

Merci beaucoup

Salut,

C'est bon, j'y suis arrivé tant bien que mal !


Voilà la suite qui me bloque.

On suppose désormais que n = 2 et on note U l'ensemble des éléments inversibles de Z[V2]

1a) montrer que (U,x) est un groupe
b) Montrer que : z € U <=> -z €U <=> z* € U

2) Etablir les résultats suivants pour a + bV2
a) (a >= 0 et b >= 0) => z >= 1
b) (a =< 0 et b =< 0) => z =< 1
c) (a =< 0 et b >= 0) ou (a >= 0 et b =< 0) => -1 =< z =< 1

3) Soit V l'ensemble des éléments de U strictement supérieurs à 1
a) Etablir que V possède un plus petit élément p que l'on explicitera
b) montrer que : V = {p^k : k € N*}

4a) Décrire U n ]0;1[ à l'aide de V (le n signifie inter)
b) En déduire les descriptions de U n R+ et U (le n signifie inter)

5a) Déterminer tous les couples (x,y) € Z² tels que |x² - 2y²| = 1
Donner 4 couples de solutions distinctes

b) Déterminer enfin les solutions de x² - 2y² = 1
Donner quatre couples de solutions distinctes


Je suis bloqué à la 3a), je n'y arrive pas du tout !

Merci d'avance pour votre aide précieuse

pour le plus petit élément , prend p=1+sqrt(2) et vérifie qu'il satisfait aux conditions de la question ...



ps : on appelle cette équation : équation de pell-fermat , bien que pell n'ait rien fait dans cette histoire ...

Salut et merci.

J'étais pas loin du résultat, je tourne toujours autour du pot sans atteindre le but, c'est énervant !

C'est toujours bon de savoir un peu d'histoire sur les Mathématiques J'aime bien

Tu as une idée pour la b ? Car je ne comprends même pas la question là :S

Merci beaucoup. Je reçois toujours une bonne aide sur ce forum, bravo à vous

une inclusion est évidente : qlq soit k de IN * p^k est strictement supérieur à 1 et inversible dc p^k £ V
réciproquement : question difficile ... je le reconnais ...
soit a un élément de V on mq il existe m £ IN* tq p^m=< a <p^(m+1)
en effet :
introduisons H={n £ IN* / p^n =< a }
H est une partie non vide de IN : car a £ V et p plus petit élément donc a^1>=V. et H est majorée par a ; donc elle admet un plus grand élément noté m ; m= max H.
alors m £ H et m+1 n'appartient pas à H .
m+1 n'est pas dans H donne a<p^(m+1) .
ainsi on a prouvé l'existence de m tq p^m=< a <p^(m+1).
Ensuite : notons T = a.p^(-m) alors 1=< T < p .
si T = 1 c'est gagné !! car a=p^m donc a £ {p^k/k£IN*}
si non, T=a.p^(-m) est un élément de U (car U groupe donc stable par produit et par passage à l'inverse) et T>1 donc T £ V .
or T < p et p=min V. absurde !!
donc T=1 puis....
C'est terminé!!

Salut,

Waoh, je n'y aurais jamais pensé, merci beaucoup !

Voilà, j'ai fini mon DM grâce à vous, merci énormément.

Sans pbs ...
il y a une autre méthode pour cette question qui utilise des récurrences , mais elle est purement calculatoire ... donc moins élégante.
à la prochaine ...

je voulais vous demander si l'on pouvait profiter du résultat de cet exo pour trouver tt les k qui réalise b²=2k²+1 c-a-d trouvé tt les k tel que 2k²+1 soit un carré parfait.
et merci